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Z-Transformation

*** Shopping-Tipp: Z-Transformation

{{Dieser Artikel|behandelt die Z-Transformation für zeitdiskrete Signale. Die statistische z-Transformation wird unter Normalverteilung#Transformation_zur_Standardnormalverteilung_(z-Transformation) Normalverteilung beschrieben.}} Die '''Z-Transformation''' wandelt ein zeitdiskretes Signal im Zeitbereich, also eine zeitliche Abfolge von im allgemeinen komplexen Zahlen, in ein komplexes diskretes Signal im Frequenzbereich um. Die zeitdiskrete Z-Transformation ist das Analogon zur Laplace-Transformation zeitkontinuierlicher Signale. Ursprünglich wurde sie als „Laplace-Transformation von Abtastfunktionen“ (siehe Dobesch) eingeführt. Dabei steht die Z-Transformation in einer ähnlichen Beziehung zur :en:Discrete-time_Fourier_transform Zeitdiskreten Fourier-Transformation (nicht zu verwechseln mit der Diskrete_Fourier-Transformation diskreten Fourier-Transformation) wie die Laplace-Transformation zur Fourier-Transformation.

Definition


Bilaterale Z-Transformation
Die bilaterale Z-Transformation eines Signals ''x[n]'' ist die formale Laurent-Reihe ''X(z)'': :X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \ wobei ''n'' alle ganzen Zahlen durchläuft. Unter gewissen Konvergenzkriterium Konvergenzbedingungen ist die Z-Transformierte eine holomorphe Funktion auf einem Kreisring in der komplexen Zahlenebene, unter schwächeren Bedingungen immerhin noch eine quadratintegrierbare Funktion auf dem Einheitskreis.

Unilaterale Z-Transformation
Wenn ''x[n]'' nur für nichtnegative ''n'' Werte hat, kann die unilaterale Z-Transformation definiert werden: :X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} \ In der Signalverarbeitung wird die ''unilaterale'' für kausale Signale verwendet.

Eigenschaften
* '''Linearität'''. Die Z-Transformation von zwei linear verknüpften Signalen ist die lineare Verknüpfung der beiden z-transformierten Signale. :Z({a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]}) = a_{1}Z({x_{1}[n]}) + a_{2}Z({x_{2}[n]})\! * '''Verschiebung'''. Wird das Signal im Zeitbereich um ''k'' nach ''rechts'' verschoben, so muss die Z-Transformierte mit ''z−k'' multipliziert werden. Bei der Verschiebung nach ''links'' kommen noch weitere Terme hinzu. :Z({x[n-k]}) = z^{-k} Z({x[n]})\! :Z({x[n+k]}) = z^{k} (F(z) - \sum_{i=0}^{k-1} f_i z^{-i}) * '''Faltung'''. Die Faltung (Mathematik) Faltung von zwei Signalen im Zeitbereich entspricht dem Produkt im Frequenzbereich. :Z({x[n]}*{y[n]}) = Z({x[n]})Z({y[n]})\! * '''Differentiation''' . :Z({n x[n]}) = \frac{-z \partial Z({x[n]})}{\partial z}

Zusätzliche Eigenschaften der unilateralen Z-Transformation
Es sei f_n = f(n) und F(z) deren Z-Transformierte. Weiter sei folgende Schreibweise für die Transformation der diskreten Zeitfunktion in die Bildebene definiert. f_{n} \circ - \bullet F(z) Dann gelten folgende Regeln: \begin{matrix} \mbox{Verschiebungssatz} & f_{n-k} & \circ - \bullet & z^{-k} F(z) \\ & f_{n+k} & \circ - \bullet & z^{k} (F(z) - \sum_{i=0}^{k-1} f_i z^{-i})\\ & f_{n+1} & \circ - \bullet & z^{1} (F(z) - f_0) \\ & f_{n+2} & \circ - \bullet & z^{2} (F(z) - f_0 - f_1 z^{-1}) \\ \mbox{D} \mathrm{\ddot{a}} \mbox{mpfungssatz} & a^{-n} \cdot f_n & \circ - \bullet & F(a \cdot z) \\ \mbox{Ableitung d. Bildf.} & n \cdot f_n & \circ - \bullet & -z \frac{dF(z)}{dz} \\ \mbox{Spektraler} & W(z) &=& U(z) \cdot V(z) \\ \mbox{Multiplikationssatz} & w_n &=& \sum_{k=0}^n u_{n-k} \cdot v_k = \sum_{k=0}^n u_{k} \cdot v_{n-k} \\ \mbox{Differenzensatz} & \Delta f_n &=& f_{n+1} - f_n \\ & \Delta^2 f_n &=& \Delta f_{n+1} - \Delta f_n = f_{n+2} - 2 f_{n+1} + f_n \\ & \Delta^2 f_n & \circ - \bullet & (z-1)^2 F(z) - z ((z-1) f_0 + \Delta f_0) \\ & \Delta^k f_n & \circ - \bullet & (z-1)^k F(z) - z \sum_{i=0}^{k-1} (z-1)^{k-i-1} \Delta ^i f_0 \\ \mbox{Summensatz} & \sum_{k=0}^n f_k & \circ - \bullet & z \frac{F(z)}{z-1} \\ \mbox{1. Grenzwertsatz} & f_k &=& \lim_{z \to \infty} z^k \cdot (F(z) - \sum_{n=0}^{k-1} z^{-n} f_n \\ & f_0 &=& \lim_{z \to \infty} F(z) \\ \mbox{2. Grenzwertsatz} & \lim_{n \to \infty} f_n &=& \lim_{z \to 1} (z-1) F(z) \\ \mbox{Stabilit} \mathrm{\ddot{a}} \mbox{t} & |z_{PK}| < 1 && \rightarrow \mbox{asympt. Stabilit} \mathrm{\ddot{a}} \mbox{t} \end{matrix}

Inverse Z-Transformation
Die ''inverse Z-Transformation'' kann mit der Formel : x[n] \,=\, Z^{-1} \{X(z) \} \,=\, \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz \ berechnet werden, wobei ''C'' eine beliebige geschlossene Kurve um den Ursprung ist, die im Konvergenzbereich von ''X(z)'' liegt. Die (unilaterale) Z-Transformation ist zeitdiskret und entspricht der Laplace-Transformation für zeitkontinuierliche Signale.

Inverse unilaterale Z-Transformation
Voraussetzungen: F(z) ist holomorph in einem Gebiet |z| > R und \lim_{z \to \infty} F(z) < \infty .

= Mit Residuum
= :f(0) = \lim_{z \to \infty} F(z), :f(nT) = \sum_{i=1}^{m} \operatorname{Res}_{z=z_i} (F(z) z^{n-1}) für n\geq 1

= Mit Laurent-Reihe
= Der Integrant f(z) \cdot z^{n-1} wird in eine Laurent-Reihe entwickelt. Die Zeitfunktion ist dann der Koeffizient -1 der Laurent Reihe, also f(n\tau) = A_{-1}. Bei der Entwicklung in eine Reihe sind der Binomischer Lehrsatz binomische Lehrsatz und grundlegende Eigenschaften der Binomialkoeffizienten nützlich.

==Beispiel 1:
== :\frac{z^n}{z-1} \,=\, \frac{(1+ (z-1))^n}{z-1} \,=\, \sum_{k=0}^n {n \choose k} 1^{n-k} (z-1)^{k-1} \,=\, \sum_{k=-1}^{n-1} {n-1 \choose k+1} 1^{n-k} (z-1)^{k}, :A_{-1} \,=\, {n-1 \choose 0} \cdot 1^{n-1} (z-1)^0 \,=\, 1.

==Beispiel 2:
== :\frac{e^{zt}}{z-a} \,=\, \frac{e^{at}}{z-a} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{((z-a)t)^k}{k!} \,=\, e^{at} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(z-a)^{k-1} \cdot t^k }{k!}, :A_{-1} \,=\, e^{at} \frac{ t^0 }{0!} \,=\, e^{at}.

= Bei wesentlicher Singularität
= :f(n\tau) \,=\, \frac{1}{n!} \cdot \left( \frac{d^n}{dz^n} f(1/z) \right)_{z=0}.

Berechnungsverfahren
Z-Transformationen mit einem begrenzten Bereich von ''n'' und einer begrenzten Anzahl von ''z''-Werten können effizient mit dem Bluestein FFT Bluestein-FFT-Algorithmus berechnet werden. Die Diskrete Fourier-Transformation (kurz: DFT) ist ein Spezialfall der Z-Transformation bei der ''z'' auf dem Einheitskreis liegt.

Anwendung
In der Digitalen Regelungstechnik wird die Z-Transformation zur exakten Auslegung von Reglern verwendet. Dabei wird im zeitdiskreten Bereich die Abtastzeit und die Rechentotzeit berücksichtigt, die man im kontinuierlichen Bereich nicht genau modellieren kann. Die gewöhnlichen P, I und D-Regler haben dabei ihre digitale Entsprechung in Form einer Differenzengleichung. Darüberhinaus kann der digitale Regler aber auch ein beliebiges, der Strecke angepasstes Verhalten haben, ohne dabei auf die kontinuierlichen Regler beschränkt zu sein.

Korrespondenzen
{| border="1" |- | x_n = \begin{cases} 0 & \mbox{fuer } n < 0 \\ 1 & \mbox{fuer } n \geq 0 \end{cases} | \frac{z}{z - 1} |- | a^n | \frac{z}{z - a} |- | \delta_n | 1 |- | e^{\alpha n} | \frac{z}{z - e^{\alpha}} |- | \cos(\omega n) | \frac{z(z - \cos(\omega))}{z^2 - 2z\cos(\omega)+1} |- | \sin(\omega n) | \frac{z\sin(\omega)}{z^2 - 2z\cos(\omega)+1} |- | x_n = \begin{cases} 0 & \mbox{fuer } n < 0 \\ n & \mbox{fuer } n \geq 0 \end{cases} | \frac{z}{(z - 1)^2} |- | x_n = \begin{cases} 0 & \mbox{fuer } n < 1 \\ a^{n - 1} & \mbox{fuer } n \geq 1 \end{cases} | \frac{1}{z - a} |- |}

Literatur
* Alan V. Oppenheim; Schafer, R. W.; and Buck, J. R. (2004). Zeitdiskrete Signalverarbeitung. Upper Saddle River, N.J.: Pearson Education. ISBN 3-82-737077-9. * Norbert Bischof: ''Struktur und Bedeutung. Eine Einführung in die Systemtheorie für Psychologen, mit einer Einführung in die Methoden der mathematischen Systemanalyse einschließlich Z-Transformation (2. Aufl.)''. 1998, ISBN 3456830807 * Heinz Dobesch Laplace-Transformation von Abtastfunktionen. Verlag Technik Berlin, 1970 * H. Clausert, G. Wiesemann. Grundgebiete der Elektrotechnik 2, 9. Auflage. Oldenburgverlag München, 2005. ISBN 3-486-27582-8 Kategorie:Digitale Signalverarbeitung Kategorie:Theoretische Elektrotechnik cs:Z-transformace en:Z-transform es:Transformada Z fi:Z-muunnos fr:Transformée en Z he:התמרת Z it:Trasformata zeta ja:Z変? nl:Z-transformatie pl:Transformata Z ru:Z-преобразование sv:Z-transform zh:Z轉?

*** Shopping-Tipp: Z-Transformation




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