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Z-Statistik

*** Shopping-Tipp: Z-Statistik

Die Z-Statistik nach Vuong stellt eine Weiterentwicklung der Informationskriterium Informationskriterien dar. Diese Statistik trifft wahrscheinlichkeitstheoretische Aussagen über die Modelle. Sie testet die Nullhypothese, dass zwei Modelle – egal ob diese hierarchisch, nicht-hierarchisch oder überlappend sind – gleich nahe an der wahren Verteilung liegen gegen die Gegenhypothese, dass ein Modell näher daran liegt. Sie trifft aber keine Aussage, dass das bessere Modell auch wirklich das wahre Modell ist. Unter der Annahme nicht-hierarchischer sowie identisch und unabhängig verteilter erklärender Variablen wird Modell 1 (2) auf dem Signifikanzniveau \alpha bevorzugt, wenn die Testgröße :Z=\frac{LR_N(\beta_{ML,1},\beta_{ML,2})} {\sqrt{N}\omega_N} mit {LR_N(\beta_{ML,1},\beta_{ML,2})}=L^1_N-L^2_N-\frac{K_1-K_2} {2} log N das (negative) (1-\alpha)-Quantil der Standardnormalverteilung überschreitet [unterschreitet]. Die Zählergröße ist die analog zum BIC um die Zahl der Koeffizienten korrigierte Differenz der maximalen Maximum-Likelihood-Methode Log-Likelihoods der beiden Modellschätzungen, die Nennergröße \sqrt{N}\omega_N entspricht der Summe der Quadrate von l_i=f_1(y_1|x_i,\beta_{ML,1})/f_2(y_1|x_i,\beta_{ML,2})\,. Bei hierarchischen und überlappenden Modellen wird die Teststatistik 2LR_N(\beta_{ML,1}),\beta_{ML,2})\, mit entsprechenden kritischen Größen aus einer gewichteten Summe von Chi-Quadrat-Verteilung Chi-Quadrat-Verteilungen verglichen. Diese kann mittels einer Gammaverteilung approximiert werden: M_m(.,\bold\lambda)\sim \Gamma(b,p)\, mit \bold\lambda=(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_m)\,, m=K_1+K_2\,, b=\frac 1 2 \frac {\sum\lambda_i} {\sum\lambda_i^2} und \frac 1 2 \frac {{(\sum\lambda_i)}^2} {\sum\lambda_i^2}. \bold\lambda ist der Vektor der Eigenwert Eigenwerte einer Matrix bedingter Erwartungswert Erwartungswerte. Dessen Herleitung ist jedoch recht schwierig, so dass Aussagen im überlappenden Fall meist nur aufgrund subjektiv ausreichend großer Werte getroffen werden.

Literatur
Vuong, Quang H. (1989): Likelihood Ratio Tests for Model Selection and non-nested Hypothesises, in: Econometrica, Vol. 57, Iss. 2, 1989, Seite 307-333. Kategorie:Statistik en:z statistic




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