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Vollständiger Satz kommutierender Observabler

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Ein '''vollständiger Satz kommutierender Observabler (v.S.k.O.)''' ist ein Begriff aus der Quantenmechanik, in der Messgrößen wie Energie, Ort oder Impuls durch Operator (Mathematik) Operatoren dargestellt werden, und als Observablen bezeichnet werden. Messgrößen, die man gleichzeitig genau bestimmen kann, heißen ''kommutierende Observablen'', und haben die Eigenschaft, dass die zugehörigen Operatoren miteinander Kommutator_(Physik) vertauschen. Solch ein Verhalten ist in der Quantenmechanik eher die Ausnahme. Die meisten Paare von Observablen lassen sich gleichzeitig nicht beliebig genau messen, was eine Konsequenz aus der Heisenbergsche Unschärferelation Heisenbergschen Unschärferelation ist. Um einen Zustand_(Quantenmechanik) quantenmechanischen Zustand eindeutig zu charakterisieren, sind oft mehrer Observablen notwendig. Beispielsweise ist es beim Wasserstoffatom nicht ausreichend nur die Energie anzugeben (mittels der Hauptquantenzahl ''n''), sondern es sind zwei weitere Observablen notwendig: der Betrag des Drehimpuls (Quantenzahl ''l'') und die z-Komponente des Drehimpuls (Quantenzahl ''m''). Diese drei Größen bilden dann einen vollständigen Satz kommutierender Observablen.

Definition
Eine Menge von Observable Observablen ''A'', ''B'', ''C'',... bildet einen v.S.k.O., wenn eine Orthonormalbasis orthonormale Basis des Zustandsraum_(Quantenmechanik) Zustandsraums aus gemeinsamen Eigenvektor Eigenvektoren der Observablen existiert, und diese Basis (bis auf einen Phasenfaktor) eindeutig ist. Eine äquivalente Formulierung lautet: Eine Menge von Observable Observablen ''A'', ''B'', ''C'',... bildet einen v.S.k.O., wenn: :# alle Observablen paarweise Kommutator_(Physik) miteinander vertauschen, und :# die Angabe der Eigenwerte aller dieser Operatoren ausreicht, um (bis auf einen Faktor) eindeutig einen gemeinsamen Eigenvektor zu bestimmen.

Bedeutung
Um ein quantenmechanisches Problem zu lösen, ist man bemüht eine Menge von Observablen zu finden, die das System beschreiben und einen v.S.k.O. bilden. Durch die Angabe der Messwerte der Observablen (das sind die Eigenwert Eigenwerte der Observablen) ist es damit möglich den Zustand eines Systems eindeutig zu bestimmen. Umgekehrt bedeutet das, dass man eine Messung auf einen vollständigen Satz kommutierender Observablen erstrecken muss, um den Zustand des Systems nach der Messung_(Quantenmechanik) Messung durch die Angabe der Messwerte eindeutig zu bestimmen.

Konstruktion eines v.S.k.O.
Schematisch lässt sich ein v.S.k.O. wie folgt konstruieren: Gegeben sei eine Observable ''A'', deren Eigenvektoren eine Basis des Zustandsraumes bilden. Sind diese sämtlich nicht-Entartung_(Quantenmechanik) entartet, so lässt sich der Zustand des Systems durch die Angabe des zu einem Eigenvektor gehörigen Eigenwertes eindeutig charakterisieren. ''A'' bildet dann "für sich" einen v.S.k.O.. Sind die Eigenvektoren jedoch in irgendeiner Form entartetet, nimmt man eine weitere Observable ''B'' hinzu, die mit ''A'' vertauscht und deren Eigenvektoren wiederum eine Basis des Zustandsraumes bilden. Aus beiden Mengen von Eigenvektoren wählt man nun die nicht-Entarteten. Bilden diese eine Basis des Zustandsraumes stellen ''A'' und ''B'' einen v.S.k.O. dar. Wenn nicht, nimmt man solange weitere Observablen ''C'', ''D'',... hinzu, die jeweils paarweise mit den anderen Observablen vertauschen, bis man eine Basis aus Eigenvektoren zu nicht-entarteten Eigenwerten konstruieren kann.

Beispiele
* Eine Observable mit nicht-entarteten Eigenwerten, also einem nicht-entarteten Spektrum bildet "für sich" einen v.S.k.O.. Ein Beispiel für so einen Fall ist der Hamilton-Operator des unendlich hohen Potentialtopf Potentialtopfs. * Der Ortsoperator sowie der Impulsoperator bilden jeweils "für sich" einen v.S.k.O. des Zustandsraumes eines Spin_(Physik) spinlosen Teilchens. * Bei einem Teilchen in einem Zentralpotential bilden der Hamilton Operator ''H'', das Quadrat des Drehimpulsoperator Drehimpulsoperators ''L''2, sowie eine beliebige Komponente des Drehimpulsoperator ''L''i (''i=x,y,z'') einen v.S.k.O.. Die Eigenwerte der drei Observablen entsprechen der Hauptquantenzahl ''n'', der Drehimpulsquantenzahl ''l'' und der magnetischen Quantenzahl ''m'' (siehe Quantenzahl). Die Angabe des Tripels (''n,l,m'') beschreibt eindeutig einen quantenmechanischen Zustand (z.B. beim Wasserstoffatom).

Literatur
*Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: ''Quantenmechanik''. 2. Auflage. De Gruyter, Berlin 1999, ISBN 3-11-016458-2 *Wolfgang Nolting: ''Grundkurs Theoretische Physik, Band 5/1, Quantenmechanik: Grundlagen'', 3. Auflage, Vieweg-Verlag *Franz Schwabl: ''Quantenmechanik Eine Einführung'', 6. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2002 ,ISBN 3-540-43106-3 Kategorie:Quantenmechanik

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