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T-Norm

*** Shopping-Tipp: T-Norm

Eine '''T-Norm''', oft auch klein ''t-Norm'', ist eine Funktion (Mathematik) mathematische Funktion, die im Bereich Mehrwertige Logik mehrwertiger Logiken, insbesondere in der Fuzzy-Logik, Bedeutung erlangt hat. Der Begriff leitet sich vom Englischen ''triangular norm'', zu Deutsch ''Dreiecksnorm'' ab, und rührt daher, dass eine T-Norm eine dreiecksähnliche Fläche in \mathbb{R}^3 beschreibt. Eine T-Norm ist auf dem Einheitsintervall [0,1] definiert T : [0,1] \times [0,1] \rightarrow [0,1] und muss folgende Eigenschaften aufweisen (zur exakten Definition dieser Eigenschaften siehe die Tabelle zu T-Norm und T-Conorm am Ende dieses Artikels): *Assoziativität *Kommutativität *Monotonie *1 ist neutrales Element Der Hintergrund bei der Entwicklung der T-Norm bestand darin, dass man für mehrwertige Logiken einen verallgemeinerten Konjunktion (Logik) Konjunktions-Operator benötigte. Die oben genannten Eigenschaften sind gleichsam allgemeinste Eigenschaften eines solchen Operators: Assoziativität und Kommutativität sind selbstverständlich. Die Monotonie garantiert eine gewisse Regelmäßigkeit in der Struktur von Definitions- und Zielmenge. Die 1 als neutrales Element ermöglicht Konjunktionen, deren Ergebnis nur von einem Operanden abhängt. Diese Eigenschaften werden im Zusammenhang mit Fuzzy-Mengen verwendet, um die Schnittmengen-Operation nachzubilden. Komplementär zu T-Normen werden ''T-Conormen'' (od. auch S-Normen) verwendet. Mit Hilfe der Augustus De Morgan de Morganschen Gesetze lässt sich nämlich auf der Basis einer T-Norm, welche Konjunktion bzw. Schnittmenge liefert, die Disjunktions- bzw. die Vereinigungsmengen-Operation ableiten.

Geläufige T-Normen und T-Conormen
\begin{matrix} \mathrm{\top_{min}}(a, b) &=& \min \{a, b\} & \mathrm{\bot_{max}}(a, b) &=& \max \{a, b\} \\ \\ \mathrm{\top_{Luka}}(a, b) &=& \max \{0, a+b-1\} & \mathrm{\bot_{Luka}}(a, b) &=& \min \{a+b, 1\} \\ \\ \mathrm{\top_{prod}}(a, b) &=& a \cdot b & \mathrm{\bot_{sum}}(a, b) &=& a+b- a \cdot b \\ \\ \mathrm{\top_{-1}}(a, b) &=& \left\{\begin{matrix}a, & \mbox{falls }b=1 \\ b, & \mbox{falls }a=1 \\ 0, & \mbox{sonst}\end{matrix} \right. & \mathrm{\bot_{-1}}(a, b) &=& \left\{\begin{matrix}a, & \mbox{falls }b=0 \\ b, & \mbox{falls }a=0 \\ 1, & \mbox{sonst}\end{matrix}\right. \end{matrix} Die erstgenannte wird wegen ihrer Einfachheit und ihrer unten genannten Eigenschaften am häufigsten eingesetzt. Die 3. T-Norm, sowie deren T-Conorm kommen aus der Wahrscheinlichkeitrechnung. Weiterhin gelten folgende Zusammenhänge: \begin{matrix} \mathrm{\top_{-1}}(a, b) & \le & \top(a, b) & \le & \mathrm{\top_{min}}(a, b) \\ \mathrm{\bot_{max}}(a, b) & \le & \bot(a, b) & \le & \mathrm{\bot_{-1}}(a, b) \end{matrix}
D.h. dass die drastische T-Norm (T-1) die kleinste und die Minimum-T-Norm die größte ist. Umgekehrtes gilt für die T-Conorm. T(a, b) bzw. ⊥(a, b) steht hierbei für jede beliebige T-Norm bzw. T-Conorm.

Zusammenhänge zwischen T-Norm und T-Conorm
Aufgrund der schon erwähnten De Morgansche Gesetze De Morganschen Gesetze ergeben sich folgende Zusammenhänge: : 1-⊥(a,b) = T(1-a, 1-b) : 1-T(a,b) = ⊥(1-a, 1-b) Folgende Bedingungen werden verlangt, damit eine Funktion als T-Norm bzw. T-Conorm gilt: {| width="75%" cellspacing="0" cellpadding="2" border="1" align="center" ! ! align="left" style="background-color:#F0F0F0" | T-Norm ! align="left" style="background-color:#F0F0F0" | T-Conorm |- | style="background-color:#F0F0F0" | Nullelement: | T(0,a) = T(a,0) = 0 | ⊥(a,1) = ⊥(1,a) = 1 |- | style="background-color:#F0F0F0" | Neutrales Element: | T(a,1) = T(1,a) = a | ⊥(0,a) = ⊥(a,0) = a |- | style="background-color:#F0F0F0" | Assoziativität: | T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c) | ⊥(a,⊥(b,c)) = ⊥(⊥(a,b),c) |- | style="background-color:#F0F0F0" | Kommutativität: | T(a,b) = T(b,a) | ⊥(a,b) = ⊥(b,a) |- | style="background-color:#F0F0F0" | Monotonie: | a ≤ b ⇒ T(a,c) ≤ T(b,c) | a ≤ b ⇒ ⊥(a,c) ≤ ⊥(b,c) |} Kategorie:Fuzzy-Logik en:T-norm

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[Der Artikel zu T-Norm stammt aus dem Nachschlagewerk Wikipedia, der freien Enzyklopädie. Dort findet sich neben einer Übersicht der Autoren die Möglichkeit, den Original-Text des Artikels T-Norm zu editieren.
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