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Starrer Körper

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{{Überarbeiten}} Ein '''starrer Körper''' ist ein physikalisches Modell nicht verformbarer Körper. Als Idealisierung werden Systeme von Massenpunkten (z.B. Atome, Moleküle), deren Distanzen zueinander konstant sind angenommen. Die Mechanik starrer Körper befasst sich als Teilgebiet der Klassische Mechanik klassischen Mechanik mit der Bewegung und der Einwirkung von äußeren Kräften auf solche Systeme, wobei insbesondere Translationsbewegungen und Rotationsbewegungen des gesamten Systems, jedoch keine Schwingungen einzelner Massenpunkte betrachtet werden.

Allgemeine Bewegungen starrer Körper
Die Massenpunkte eines starren Körpers haben bezüglich eines körperfesten Bezugssystems (Schwerpunktsystem) zeitlich konstante Raumkoordinaten. Aus einer ruhenden Betrachtung (Laborsystem) heraus setzt sich eine freie Bewegung (ohne äußere Kräfte) somit als Folgerung des Schwerpunktsatzes aus zwei unabhängigen Bewegungsformen zusammen: *einer geradlinigen Bewegung des Schwerpunktes *einer Drehbewegung des Körpers um eine (''freie'') Rotationsachse Jede solche Bewegung ist äquivalent zu einer Schraubenbewegung. Das bedeutet, dass sich zu einer gegebenen Bewegung eines starren Körpers zu jedem Zeitpunkt eine Schraubenlinie angeben lässt, die die ursprüngliche Raumposition und Orientierung (Mathematik) Orientierung in die aktuelle überführt (''Theorem von Chasles'': Michel Chasles, 1832). Eine Allgemeine Bewegung starrer Körper (mit äußeren Kräften) kann somit durch eine Folge von Schraubenbewegungen (sog. ''Schrotung'') beliebig genau angenähert werden. Aus Gruppentheorie gruppentheoretischer Sicht lassen sich die Translation und die Rotation jeweils durch die Translationsgruppe T(3) und der Drehgruppe SO(3) erzeugen. Die Komposition (Mathematik) Komposition führt zu der speziellen euklidische Gruppe euklidischen Gruppe SE(3), welche eine Lie-Gruppe und somit Differenzierbarkeit differenzierbar ist.

Freiheitsgrade und Konfigurationsraum
Bild:M_f_g.png thumb|[[Eulersche Winkel zur Darstellung der Orientierung eines flugzeugfesten Koordinatensystems]] Die Freiheitsgrade eines n-Teilchen Systems bilden einen sogenannten Konfigurationsraum. Dieser setzt sich bei starren Körpern aus drei Freiheitsgraden bezüglich der Änderung der Raumposition und drei weiteren bezüglich der Änderung der Orientierung zusammen. Eine Möglichkeit zur Beschreibung der Orientierung des Körpers bieten Eulersche Winkel, die eine wichtige Rolle in der Luft- und Raumfahrt spielen. Der Anschauung kann man leicht entnehmen, dass ein freier Körper wie ein (optimal kunstflugtaugliches) Flugzeug drei Freiheitsgrade einer geradlinigen Bewegung besitzt, da es sich frei in den drei räumlichen Dimensionen Länge, Breite und Höhe bewegen kann. Hinzu kommen weitere drei Freiheitsgrade der Drehungen um räumliche Drehachsen. Offensichtlich vermindert nun jede Einschränkung der Bewegungmöglichkeit die Anzahl der Freiheitsgrade. Wird beispielsweise ein Massenpunkt des starren Körpers räumlich fixiert, so kann man in diesen den Ursprung des Bezugssystems legen. Dadurch reduziert sich die Bewegung auf eine reine Änderung der Orientierung und es bleiben nur mehr drei Freiheitsgrade. Wird ein weiterer Punkt festgehalten, so kann der Körper nur noch um eine raumfeste Drehachse rotieren und hat damit nur noch einen Freiheitsgrad, nämlich den Drehwinkel. Legt man schließlich noch einen dritten Punkt des Körpers fest, so verliert er auch den letzten Freiheitsgrad und ist damit bewegungslos. Jede weitere räumliche Fixierung von Punkten führt nunmehr zu einer sogenannten statisch bestimmt statischen Überbestimmtheit.

Formulierung der Allgemeinen Bewegungsgleichung
Wählen wir nun den Ursprung des raumfesten Koordinatensystems so, dass er zum Zeitpunkt t = 0 mit dem Schwerpunkt des Körpers übereinstimmt, so kann die Position eines beliebigen Teilchens mit der von der der Winkelgeschwindigkeit abhängigen Drehmatrix in folgender allgemeinen Bewegungsgleichung dargestellt werden: :\vec{r}_T(t) = \vec{r}_S(t) + A(t)\cdot\vec{r}_0 Die Ableitung nach der Zeit ergibt: :\vec{v}_T(t) = \vec{v}_S(t) + \vec{\omega}(t) \times A(t)\cdot\vec{r}_0 ''dabei bezeichnen'': *'''r'''T(''t''), '''v'''T(''t'') die vektorielle Position und Geschwindigkeit des Teilchens zum Zeitpunkt t, wobei '''r'''''0'' = '''r'''T(''0'') *'''r'''S(''t''), '''v'''S(''t'') die vektorielle Position und Geschwindigkeit des Schwerpunktes zum Zeitpunkt ''t'' *''A''(''t'') die Drehmatrix in Abhängigkeit der vektoriellen Winkelgeschwindigkeit '''ω'''(''t'') zum Zeitpunkt ''t'' Da die äußeren Kräfte jedoch nicht konstant sein müssen und wiederum selbst von Position und Bewegung im Kraftfeld abhängen können (z.B. Reibung), kann es sehr schwierig werden die freie Bewegung eines starren Körpers zu bestimmen.

Ansätze zur Bestimmung der Bewegungsgleichung
Nach der Modellvoraussetzung gelten konstante Distanzen zwischen den Teilchen. Aus dem Schwerpunktsatz lassen sich nun einige Folgerungen ziehen: * Für die Wirkung eines Systems äußerer Kräfte auf einen starren Körper sind nur die resultierende Kraft '''F''' und das resultierende Drehmoment '''M''' entscheidend. Alle Kräftesysteme mit gleichen Resultierenden sind somit in ihrer Wirkung äquivalent. * Der Trägheitstensor I eines starren Körpers bezüglich eines Schwerpunktsystems ist konstant. Zudem werden dem Modell häufig weitere Idealisierungen zugrunde gelegt, die es erlauben sogenannte Erhaltungssatz Erhaltungssätze zur Bestimmung der Bewegungsgleichung einzuführen: Wird ein abgeschlossenes System angenommen, so folgt aus dem Drehimpulserhaltungssatz, dass der vektorielle Gesamtdrehimpuls '''L''' des Systems konstant ist und es gilt: :\vec{L} = I \times \vec{\omega}(t) = \vec\mathrm{const.}\mathfrak{} ''dabei bezeichnen'': *I den Trägheitstensor des starren Körpers *'''\omega'''(t) die vektorielle Winkelgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t Wird ein konservatives Kraftfeld zugrunde gelegt, so folgt aus dem Energieerhaltungssatz, dass die Gesamtenergie E konstant ist und es gilt: :E = E_{\mathrm{Kin}}(t) + E_{\mathrm{Pot}}(t) + E_{\mathrm{Rot}}(t) = \mathrm{const.}\mathfrak{} ''dabei bezeichnen'': *E_\mathrm{Kin}(t), E_\mathrm{Pot}(t) die kinetische Energie kinetische Energie der Translation und die potentielle Energie potentielle Energie zum Zeitpunkt t *E_\mathrm{Rot}(t) die kinetische Energie der Rotation, bzw die Rotationsenergie zum Zeitpunkt t

Drehung eines starren Körpers um eine raumfeste Achse
Ein starrer Körper rotiere mit der Winkelgeschwindigkeit ''ω'' um eine feste Achse. Wie bereits erwähnt, hat der Körper dann nur noch einen Freiheitsgrad, nämlich den Winkel seiner Drehung bezüglich einer Ausgangslage. Wir betrachten einen Punkt ''P'' des Körpers im Abstand ''ρ'' von der Drehachse.
image: R-01.PNG
Seine Bahngeschwindigkeit ist dann ''v'' = ''ω ρ''. Wir legen in einen beliebigen Punkt der Drehachse den Ursprung O eines Koordinatensystems. Der Ortsvektor des Punktes ''P'' sei '''''r'''''. Dann ist ''ρ'' = ''r'' sin ''α''. Führen wir nun auf der Drehachse noch einen Einheitsvektor '''''e''''' ein, mit dessen Richtung die Drehrichtung eine Rechtsschraube bildet, so ist '''''v''''' = ''ω'' '''''e''''' x '''''r''''' (Vektorprodukt von '''''e''''' und '''''r'''''). Dies legt den Gedanken nahe, den Vektor ''ω'' '''''e''''' als Vektor der Winkelgeschwindigkeit '''''ω''''' einzuführen. Dies ist jedoch nur dann sinnvoll, wenn Winkelgeschwindigkeiten auch die Gesetze der Vektorrechnung befolgen und sich vektoriell addieren lassen – jedenfalls dann, wenn die beiden Drehachsen einander schneiden. Betrachten wir ein konkretes Beispiel, einen Zylinder (Geometrie) Zylinder, der sowohl um seine Längsachse als auch um eine dazu senkrechte, durch seinen Mittelpunkt gehende Achse rotiert.
image:R-02.png
Am Beispiel des zweifach rotierenden Zylinders erkennt man, dass die horizontale Drehachse und damit auch der entsprechende Vektor der Winkelgeschwindigkeit sowie der Summenvektor ständig rotieren.

Drehung eines starren Körpers um einen raumfesten Punkt
Eine solche Bewegung heißt auch sphärische Bewegung, weil sich dabei alle Punkte des Körpers auf Kugelschalen ("Sphären") bewegen, deren Mittelpunkt der feste Punkt ''O'' ist. Wir betrachten wieder zwei Punkte ''A'' und ''B'' des starren Körpers. Durch eine beliebige Bewegung um den festen Punkt ''O'' mögen die beiden Punkte in die Endlage ''A' '' und ''B' '' überführt werden. Wenn wir wieder von dem tatsächlichen Verlauf der Bewegung absehen und nur die Ausgangs- und die Endlage betrachten, so kann der gleiche Effekt stets durch eine Rotation um eine durch den festen Punkt gehende Achse erzielt werden. Es gilt also der Satz: Eine beliebige Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt ist äquivalent (d. h. hinsichtlich des Ergebnisses gleichwertig) einer Rotation um eine bestimmte, durch diesen Punkt gehende Achse (Eulersches Theorem). Der Beweis verläuft analog zu dem für die ebene Bewegung. Die beiden Dreiecke ''OAA' '' und ''OBB' '' sind gleichschenklig. Wir errichten die mittelsenkrechte Ebene ''e'' auf ''AA' '' und ''f'' auf ''BB' ''. Jeder Punkt der Ebene ''e'' ist von ''A'' und ''A' '' gleich weit entfernt, und jeder Punkt der Ebene ''f'' ist von ''B'' und ''A'B' '' gleich weit entfernt. Beide Ebenen gehen durch ''O'' und schneiden einander in einer Geraden ''OC''. Alle Punkte dieser Geraden haben die Eigenschaften der Punkte beider Ebenen gemeinsam: sie sind sowohl von ''A'' und ''A' '' als auch von ''B'' und ''B' '' gleich weit entfernt. Außerdem ist der Winkel ''AOC'' gleich dem Winkel ''A’OC'' und der Winkel ''BOC'' gleich dem Winkel ''B'OC''. Jede durch ''O'' gehende und in der Ebene ''e'' liegende Gerade kann als Drehachse dienen, um ''A'' in ''A' '' überzuführen. Dasselbe gilt für jede in der Ebene ''f'' liegende und durch ''O'' gehende Gerade bezüglich der Punkte ''B'' und ''B' ''. Da die Gerade ''OC'' zusammen mit der Strecke ''AB'' als starrer Körper aufgefasst werden kann, führt eine Drehung um ''OC'', welche ''A'' in ''A' '' überführt, auch ''B'' in ''B' '' über. Analog zu unserem Vorgehen bei der ebenen Bewegung betrachten wir nun mehrere Zwischenstadien der tatsächlichen Bewegung und nähern jede der Bewegungsphasen durch eine Rotation um einen bestimmte Achse an, die wie oben gefunden werden kann. Die verschiedenen Achsen und die von ihnen bestimmten Ebenen bilden dann einerseits eine im Raum feste Pyramidenfläche (Rastpolpyramide) mit der Spitze in ''O'' und andererseits eine im Körper feste (und somit im Raum bewegliche) Pyramidenfläche, die Gangpolpyramide. Beide Pyramiden rollen über die Kanten aneinander ab. Wenn die Anzahl der betrachteten Bewegungsphasen unbeschränkt zunimmt, gehen die beiden Pyramidenflächen in Kegelflächen über, die aufeinander abrollen und deren Mantellinien die (raumfesten und körperfesten) momentanen Drehachsen sind. Im Hinblick auf die später zu behandelnde Kreiselbewegung ist insbesondere der Fall interessant, in dem die beiden Kegelflächen kreisförmig sind. Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden: Der Gangpolkegel (blau) kann auf dem Rastpolkegel (rot) außen oder innen abrollen. Dies zeigt die folgenden Abbildung.

Ebene Bewegung eines starren Körpers
Ein Beispiel für die ebene Bewegung eines starren Körpers ist ein Buch, das auf einer Tischplatte bewegt wird. Dabei bewegen sich alle Punkte des Körpers (des Buches) parallel zu einer Ebene (zur Tischplatte). Alle Punkte des Körpers, die auf demselben Lot zur Ebene liegen, bewegen sich dabei auf kongruenten Bahnen. Daher genügt es, den Körper auf eine einzige Ebene – hier eine Seite des Buches – zu reduzieren und lediglich die Bewegung einer Ebene auf einer anderen, festen Ebene zu betrachten. Diese Bewegung hat drei Freiheitsgrade: Wir können die beiden Koordinaten irgendeines Punktes der beweglichen Ebene beliebig wählen und dann die Ebene noch um diesen Punkt drehen. Zunächst will ich zeigen, dass man jede beliebige ebene Verschiebung eines Körpers aus einer Position (1) in eine Position (2) als das Ergebnis einer Drehung um einen Punkt auffassen kann. Dabei wird von den Zwischenstadien der Verschiebung völlig abgesehen und es werden nur die Anfangs- und die Endposition betrachtet. Dabei genügt es, zwei in der Bewegungsebene gelegene Punkte ''A'' und ''B'' des Körpers herauszugreifen, denn durch die Lage dieser beiden Punkte ist auch die Position aller übrigen Punkte des Körpers festgelegt. Durch die betrachtete Verschiebung seien die beiden Punkte ''A'' und ''B'' auf einem beliebigen Weg in die Position ''A' '' bzw. ''B' '' bewegt worden. Konstruiert man die Mittelsenkrechten der Strecken ''AA' '' und ''BB' '' und schneidet sie miteinander, so erhält man das gesuchte Rotationszentrum ''P''. Während der Drehung wird das Dreiecks ''PAB'' in das kongruente Dreieck ''PA'B' '' übergeführt und gleichzeitig alle anderen Punkte des Körpers aus ihrer ursprünglichen Lage in eine neue Position gebracht. Da das Drehzentrum für alle Punkte dasselbe ist, würde man denselben Punkt ''P'' auch mit zwei beliebigen anderen Punkten (statt ''A'' und ''B'') finden. (Zum vollständigen Beweis muss gezeigt werden, dass dieselbe Drehung, welche die Strecke ''PA'' in die Strecke ''PA' '' überführt, auch die Strecke ''PB'' in die Strecke ''PB' '' überführt. Dazu muss bewiesen werden, dass der Winkel ''APA' '' gleich dem Winkel ''BPB' '' ist. Wegen der Kongruenz der Dreiecke ''APB'' und ''A'PB' '' sind die Winkel ''APB'' und ''A'PB' '' gleich. Ich nenne sie α. Nun ist aber Winkel ''APA' '' = α + Winkel ''BPA' '' und Winkel ''A'PB' '' ebenfalls gleich α + Winkel ''BPA' ''. Also sind die beiden fraglichen Winkel gleich. – Einfacher ist folgende Argumentation, die später auch noch in einem anderen Zusammenhang benutzt werden kann: Da wir es hier mit einem starren Körper zu tun haben, ist auch das Dreieck ''ABP'' ein starres Gebilde. Daher können sich bei einer Rotation um ''P'' die beiden Radien ''PA'' und ''PB'' immer nur um gleiche Winkel drehen.)) Wenn wir nun die Zwischenstadien der Bewegung nicht ignorieren, sondern die Bahnkurven der Punkte ''A'' und ''B'' exakt verfolgen wollen, so können wir zunächst einige Zwischenstadien der Bewegung betrachten: Für je zwei benachbarte Lagen der Strecke ’’AB’’ können wir - wie oben - ein temporäres Drehzentrum konstruieren und so die gesamte Ortsveränderung durch eine Anzahl von Drehungen um ein jeweils anderes temporäres Drehzentrum ("temporärer Pol") annähern. Verbindet man die benachbarten temporären Drehzentren miteinander, entsteht ein Polygonzug. Es lohnt sich, diesen Vorgang in seinen Phasen in einem Modell zu realisieren. Dazu befestigt man ein Blatt Papier (die feste Ebene) auf einer geeigneten Unterlage (Korkbrett, Weichfaserplatte, Styroportafel ...). Ein zweites Blatt Papier (das transparent sein sollte) stellt die bewegte Ebene (den bewegten Körper) dar, auf der zwei Punkte ''A'' und ''B'' und ihre Verbindungsgerade markiert werden. Anstatt nun aber die einzelnen Phasen der Verschiebung dieser Ebene vorzugeben und dann Mittelsenkrechten über mehreren kleinen Teilstrecken zu errichten und diese paarweise miteinender zu schneiden (was mühsam und ungenau wäre), ist es weitaus bequemer, das Pferd von hinten aufzuzäumen und sich den Polygonzug von temporären Zentren beliebig vorzugeben. Dann wird das transparente Papier auf die feste Ebene gelegt. Mit einer Stecknadel sticht man zunächst in den Punkten ''A'' und ''B'' durch die beiden Papiere hindurch und markiert so deren Ausgangslage auf der festen Ebene. Dann sticht man im ersten Drehzentrum ''P''1 durch beide Ebenen und dreht die das obere Papier um einen beliebigen Winkel (etwa 20° bis 30°), wobei die Stecknadel die Drehachse bildet. Dann sticht man die Nadel durch das zweite Drehzentrum und dreht wiederum die obere Ebene um einen beliebigen Winkel usw. Nach der letzten Drehung markiert man durch Durchstechen die Lage der Punkte Πi auf der festen Ebene und ebenso Endlage der Punkte ''A'' und ''B'', die mit ''A' '' und ''B' '' bezeichnet sind. Dadurch erhält man auf der festen Ebene eine Figur, die etwa so aussieht: Diese Abbildung lässt sich auch als "Ausschneidebogen" zur Demonstration verwenden. Dazu schneidet man den linken Teil am blauen Polygonzug entlang aus. Dann legt man die Punkte Π6 und ''P''6 wieder aufeinander und dreht den ausgeschnittenen linken Teil um Π6, bis Π5 auf ''P''5 zu liegen kommt usw. So kann man den ganzen Vorgang rückwärts verfolgen, bis man am Anfang angekommen ist. Von dort kann man den ursprünglichen Ablauf nachvollziehen. Man kann also die wirkliche Bewegung der Ebene (oder des Körpers) annähern, indem man das körperfeste (blaue) Polygon um das raumfeste (rote) Polygon "kantet". Wenn wir nun die Anzahl der betrachteten Bewegungspasen unbegrenzt wachsen lassen, so nähert sich der Bewegungsablauf unbeschränkt dem tatsächlichen Vorgang und die beiden Polygone werden zu glatten Kurven, von denen die blaue auf der roten abrollt. So ergibt sich folgender Satz: Jede beliebige Bewegung eines starren Körpers in einer Ebene kann dadurch erzeugt werden, dass eine bestimmte, im Körper feste Kurve auf einer bestimmten, im Raume festen Kurve abrollt. Die erste Kurve heißt Gangpolkurve oder Körperzentrode, die zweite Rastpolkurve oder Raumzentrode. Handelt es sich um die ebene Bewegung eines ''Körpers'', so können wir in den Punkten der Rast– und Gangpolkurve Lote auf der festen Ebene errichten. Diese bilden je eine gerade Zylinderfläche, die Gangpolfläche (blau) und die Rastpolfläche (rot), die aufeinander abrollen. Kategorie:Technische Mechanik cs:Tuhé těleso en:Rigid body es:Mecánica del sólido rígido id:Rigid body it:Corpo rigido ru:?б?олютно твёрдое тело sk:Tuhé teleso sl:Togo telo sv:Stel kropp uk:?б?олютно тверде тiло zh:剛體

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[Der Artikel zu Starrer Körper stammt aus dem Nachschlagewerk Wikipedia, der freien Enzyklopädie. Dort findet sich neben einer Übersicht der Autoren die Möglichkeit, den Original-Text des Artikels Starrer Körper zu editieren.
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