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R0-Raum

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In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind '''R0-Räume''' spezielle topologische Räume, die gewisse angenehme Eigenschaften besitzen. Das R0-Axiom ist ein Beispiel eines Trennungsaxioms.

Definition
Gegeben seien ein topologischer Raum ''X'' und zwei Punkte ''x'' und ''y'' in ''X''. Man sagt, dass ''x'' und ''y'' '''getrennt''' sind oder getrennt werden können, wenn ''x'' und ''y'' jeweils in einer offene Menge offenen Menge liegen, die den anderen Punkt nicht enthält. Weiter heißen ''x'' und ''y'' '''Kolmogoroff-Raum topologisch unterscheidbar''', falls eine offene Menge existiert, die genau einen der beiden Punkte enthält. ''X'' heißt '''R0-Raum''', falls zwei beliebige topologisch unterscheidbare Punkte getrennt sind. Ein R0-Raum wird auch '''symmetrischer Raum''' genannt.

Eigenschaften
''X'' sei ein topologischer Raum. Folgende Aussagen sind äquivalent: *''X'' ist ein R0-Raum. *Für jedes ''x'' in ''X'' enthält der Abgeschlossenheit Abschluss von {x} nur die Punkte, die von ''x'' topologisch nicht unterscheidbar sind. *Jeder Elementarfilter zu ''x'' konvergiert nur gegen Punkte, die von ''x'' topologisch nicht unterscheidbar sind. *Der Kolmogoroff-Raum Kolmogoroff-Quotient KQ(''X'') ist ein T1-Raum. In topologischen Räumen gilt immer folgende Implikation :getrennt ⇒ topologisch unterscheidbar Falls diese umgekehrt werden kann, handelt es sich um einen R0-Raum.

Beispiel
\mathbb{Z} sei die Menge der ganze Zahlen ganzen Zahlen. Für x \in \mathbb{Z} sei G_x definiert durch G_x = X\setminus\{x,x+1\} für gerades ''x'' und G_x = X\setminus\{x-1,x\} für ungerades ''x''. Durchläuft ''A'' die endlichen Teilmengen von \mathbb{Z}, so bilden die Mengen U_A = \bigcap_{x\in A} G_x eine Basis (Topologie) Basis einer Topologie. Wir erhalten einen R0-Raum, der kein Kolmogoroff-Raum (für ein gerades ''x'' sind ''x'' und ''x+1'' topologisch nicht unterscheidbar) und somit auch kein T1-Raum T1-Raum ist. Kategorie:Topologie Kategorie:Mathematischer Raum fr:Espace R0




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