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QR-Zerlegung

*** Shopping-Tipp: QR-Zerlegung

Die '''QR-Zerlegung''' oder '''QR-Faktorisierung''' ist ein Begriff aus den Teilgebiete der Mathematik mathematischen Teilgebieten der Lineare Algebra linearen Algebra und Numerik. Man bezeichnet damit die Zerlegung einer Matrix (Mathematik) Matrix A in das Produkt : A = Q\cdot R zweier anderer Matrizen, wobei ''Q'' eine orthogonale (QQ^T=I) bzw. unitäre Matrix (QQ^*=I) und ''R'' eine obere Dreiecksmatrix ist. Eine solche Zerlegung existiert stets und kann mit verschiedenen numerischen Algorithmus Algorithmen berechnet werden. Die bekanntesten davon sind *Householdertransformationen *Givens-Rotationen *Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren. Das letztere ist nur von theoretischer Bedeutung, weil es numerisch instabil ist. Man kann das Verfahren aber erweitern und numerisch stabilisieren.

Definition
Eine Matrix A \in \R^{m\times n}, m \geq n besitzt eine (fast - siehe weiter unten) eindeutige ''reduzierte QR-Zerlegung'' :A=\hat{Q}\cdot\hat{R} als Produkt einer in den Spalten orthogonalen Matrix \hat{Q} \in \R^{m\times n} und einer oberen Dreiecksmatrix \hat{R} \in \R^{n\times n}. Diese Lösung ist erweiterbar zu einer ''vollständigen QR-Zerlegung'' :A = Q\cdot R, indem man \hat{Q} mit weiteren orthogonalen Spalten \tilde{Q} zu einer quadratischen m \times m-Matrix erweitert, und an \hat{R} unten Nullen anfügt, so dass eine m\times n-Matrix entsteht: :Q\cdot R = (\hat{Q} \tilde{Q}) \cdot \begin{pmatrix} \hat{R} \\ 0 \end{pmatrix} = \hat{Q}\cdot\hat{R} Die QR Zerlegung ist eindeutig für m \geq n und Rang(A)=n wenn man die Vorzeichen der Diagonalelemente von R, \hat{R} vorgibt. (Üblicherweise wählt man alle positiv)

Anwendung
Die QR-Zerlegung spielt in vielen Verfahren der Numerische Mathematik numerischen Mathematik eine wichtige Rolle, beispielsweise um eine orthogonale oder unitäre Basis zu bestimmen oder um lineare Ausgleichsprobleme zu behandeln. Sie ist integraler Bestandteil des QR-Algorithmus zur Berechnung aller Eigenwerte einer Matrix.

Lösung eines linearen Gleichungssystems
Um die Lösung x\in\R^n eines lineares Gleichungssystem linearen Gleichungssystems :Ax = b zu bestimmen, sind folgende drei Schritte durchzuführen: # Bestimme eine QR-Zerlegung der Matrix A. # Berechne z = Q^Tb. # Löse Rx = z durch Rückwärtseinsetzen. Kategorie:Numerische lineare Algebra en:QR decomposition fi:QR-hajotelma fr:Décomposition QR it:Decomposizione QR ja:QR分解 zh:QR分解




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