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P-Gruppe

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Für eine Primzahl ''p'' ist eine '''''p''-Gruppe''' in der Gruppentheorie eine Gruppe (Mathematik) Gruppe, in der die Ordnung jedes Elements eine Potenz von ''p'' ist. Das heißt, für jedes Element ''g'' der Gruppe gibt es eine natürliche Zahl ''n'', so dass ''g'' Potenz (Mathematik) hoch ''pn'' gleich dem neutrales Element neutralen Element der Gruppe ist. Die Sylow-Sätze ermöglichen es, ''p''-Unterguppen von endlichen Gruppen mit Kombinatorik kombinatorischen Methoden aufzufinden. Besonders wichtig sind dabei die maximalen ''p''-Untergruppen, die '''Sylowgruppen''' einer endlichen Gruppe.

Sylowgruppe {{Anker|Sylowgruppe}}
* Eine Untergruppe ''H'' einer Gruppe ''G'' heißt ''p''-Untergruppe, wenn sie eine ''p''-Gruppe ist. * Eine ''p''-Untergruppe ''H'' einer Gruppe ''G'' heißt '''''p''-Sylowuntergruppe''' oder '''''p''-Sylowgruppe''' von ''G'', wenn sie maximale ''p''-Unterguppe von ''G'' ist. Das heißt, für jede ''p''-Untergruppe ''U'' von ''G'' folgt aus H dass H=U gilt. (Dabei steht ''p'' hier für eine feste Primzahl.)

Beispiele
Sei ''p'' stets eine Primzahl. Beispiele endlicher ''p''-Gruppen: * Die zyklische Gruppe ''C''''p'' ist eine abelsche ''p''-Gruppe. * Das direktes Produkt direkte Produkt ''C''''p'' × ''C''''p'' ist eine abelsche ''p''-Gruppe (nicht isomorph zu ''C''). * Die Diedergruppe ''D''8 ist eine nichtabelsche 2-Gruppe. Keine ''p''-Gruppe ist z.B. die zyklische Gruppe ''C''6, da sie Elemente der Ordnung 6 enthält, und 6 ist keine Primzahlpotenz. Ebenso ist die symmetrische Gruppe ''S''3 keine ''p''-Gruppe, da sie Elemente der Ordnung 2 und Elemente der Ordnung 3 enthält, und diese Ordnungen nicht Potenzen derselben Primzahl sind. Eine unendliche ''p''-Gruppe bildet folgendes Beispiel: Betrachte die Menge aller rationale Zahlen rationaler Zahlen der Form ''m''/''p''''n'' mit natürlichen Zahlen ''m'' und ''n''. Addieren wir diese Zahlen Kongruenz (Zahlentheorie) modulo 1, dann erhalten wir eine Gruppe ''G''. Diese ist eine unendliche abelsche ''p''-Gruppe. Jede Gruppe, die zu ''G'' isomorph ist, heißt '''''p''-Gruppe'''. Gruppen dieses Typs sind wichtig bei der Klassifikation unendlicher abelscher Gruppen. Die ''p''-Gruppe kann auch beschrieben werden als die multiplikative Gruppe derjenigen komplexen Einheitswurzeln, deren Ordnung eine ''p''-Potenz ist.

Eigenschaften
''p''-Gruppen sind spezielle Torsionsuntergruppe Torsionsgruppen (dies sind Gruppen, in denen jedes Element endliche Ordnung hat).

Endliche ''p''-Gruppen
Ist ''G'' eine endliche Gruppe, dann ist sie genau dann eine ''p''-Gruppe, wenn ihre Ordnung (die Anzahl ihrer Elemente) selbst eine ''p''-Potenz ist. Das Zentrum (Gruppentheorie) Zentrum einer endlichen ''p''-Gruppe besteht nicht nur aus dem neutralen Element. Das zeigt man mit der Operation (Mathematik)#Eigenschaften Bahnenformel für die Konjugation (Gruppentheorie) Konjugation. Im Spezialfall einer Gruppe der Ordnung ''p''2 kann man sogar noch mehr sagen: In diesem Fall ist die Gruppe abelsch. Man zeigt das, indem man allgemeiner beweist, dass die Faktorgruppe ''G''/Z(''G'') der Gruppe modulo dem Zentrum nur dann eine zyklische Gruppe ist, wenn sie die triviale (einelementige) Gruppe {''e''} ist. Jede endliche ''p''-Gruppe ist Nilpotente Gruppe nilpotent und auflösbare Gruppe auflösbar. ''p''-Gruppen derselben Ordnung müssen nicht Isomorphismus isomorph sein, z.B. sind die zyklische Gruppe ''C''4 und die Kleinsche Vierergruppe beides 2-Gruppen der Ordnung 4, aber nicht zueinander isomorph. Eine ''p''-Gruppe muss auch nicht abelsche Gruppe abelsch sein, z.B. ist die Diedergruppe ''D''8 eine nichtabelsche 2-Gruppe. Jede nichttriviale endliche Gruppe enthält eine Untergruppe, die ''p''-Gruppe ist. Details dazu sind im Artikel Sylow-Sätze beschrieben. In einem bestimmten Sinne sind fast alle endlichen Gruppen ''p''-Gruppen, sie sind sogar fast alle 2-Gruppen: Fixiert man eine natürliche Zahl ''n'' und wählt dann Diskrete Gleichverteilung gleichverteilt aus der Liste aller Isomorphieklassen von Gruppen der Ordnung kleinergleich ''n'', dann konvergiert die Wahrscheinlichkeit, eine 2-Gruppe zu wählen, gegen 1, wenn ''n'' gegen unendlich geht. Zum Beispiel liegt die Wahrscheinlichkeit, unter allen Gruppen der Ordnung kleinergleich 2000 eine 2-Gruppe der Ordnung 1024 zu ziehen, bei über 99%. Kategorie:Gruppentheorie en:P-group it:Gruppo primario pl:P-grupa ru:Конечна? p-группа zh:P-群

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