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Orbital

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{{Dieser Artikel| behandelt den physikalischen Begriff der Einelektronen-Wellenfunktionen. Für andere Bedeutungen siehe Orbital (Begriffsklärung).}} '''Orbitale''' sind Einzelelektronen-Wellenfunktionen (meist mit \phi oder \psi (Psi kleines Psi) abgekürzt) in der Quantenmechanik. Das Betragsquadrat einer Wellenfunktion \left|\psi\right|^2 wird als Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons interpretiert, das sie beschreibt. Im ''Orbitalmodell'' existieren keine Kreisbahnen wie im Bohrsches Atommodell Atommodell von Niels Bohr und auch keine anderen, definierten Bahnen (Trajektorie (Physik) Trajektorien). Vielmehr brachten Entwicklungen der Quantenmechanik die Erkenntnis, dass der genaue Aufenthaltsort der Elektronen aufgrund der Unschärferelation Werner Heisenbergs nicht exakt, sondern nur ihre Verteilung Stochastik stochastisch beschrieben werden kann. Da die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen mit dem Abstand vom Atomkern asymptotisch gegen null geht und sich bis ins Unendliche erstreckt, wählt man als Orbital den Aufenthaltsraum, in dem sich das betrachtete Elektron mit ca. 90 % Wahrscheinlichkeit aufhält. Man erhält damit Räume, die ungefähr der Größe der Atome entsprechen. Die Begrenzungsflächen sind Flächen gleicher Aufenthaltswahrscheinlichkeit (Isoflächen). Die direkte Interpretation von Orbitalen als Wellenfunktionen ist nur bei Einzelektronensystemen möglich. Bei Mehrelektronensystemen werden aber Orbitale in Slater-Determinanten eingesetzt um Mehrelektronen-Wellenfunktionen zu konstruieren. Solche Orbitale können durch Hartree-Fock-, Kohn-Sham-Rechnungen (siehe: Dichtefunktionaltheorie (Quantenphysik)) oder MCSCF-Rechnungen (MCSCF: Multiconfiguration Self Consistent Field) bestimmt werden, sind aber im Regelfall nicht eindeutig definiert (verschiedene Orbitalsätze repräsentieren die gleiche Mehrteilchen-Wellenfunktion).

Klassifikation
Orbitale werden anhand der vier Quantenzahlen n, l, ml und s klassifiziert, manchmal auch durch n, l, j und mj, wobei gilt: * '''n''' (''Hauptquantenzahl'', Wertebereich: n = 1, 2, 3, ...) beschreibt das Hauptenergieniveau, welches ein Elektron besitzt. Es entspricht gewissermaßen der Schale n des Bohrsches Atommodell bohrschen Atommodells. Die Hauptquantenzahl beschreibt einen Bereich, in dem die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons sehr hoch ist. Je größer n wird, desto weiter entfernt vom Atomkern bewegt sich das Elektron, zudem erhöht sich dessen Energie. Die maximale Anzahl der Elektronen in einer Schale ist definiert als 2n^2. * '''l''' (''Nebenquantenzahl, Bahndrehimpulsquantenzahl'', Wertebereich: l = 0, 1, ..., (n - 1)) beschreibt den Bahndrehimpuls des Elektrons :
|L|=\hbar \cdot \sqrt{l(l+1)}
und damit die "Form" des Orbitals. Häufig findet man in der Literatur die Buchstaben s, p, d, f, g als Bezeichnung für die Nebenquantenzahl, abgeleitet aus den englischen Adjektiven für die korrespondierenden Spektrallinien: sharp, principal, diffuse, fundamental (danach wird alphabetisch fortgesetzt). Die Anzahl der Unterschalen ist gleich der Hauptquantenzahl. Für n = 3 sind also drei Unterschalen möglich l = 0, 1, 2. Die Anzahl der Orbitale pro Unterschale ist auf 2l + 1 begrenzt. Oft wird statt des Buchstabens l auch der Buchstabe q für die Nebenquantenzahl verwendet. * '''ml''' (''Magnetquantenzahl'', Wertebereich: ml = -l, -(l - 1), ...0, ...+(l - 1), +l) beschreibt die räumliche Ausrichtung, die das Orbital bezüglich eines äußeren Magnetfeldes einnimmt. Die resultierenden Orbitale sind energetisch gleich, nur wenn von außen ein Magnetfeld angelegt wird, lassen sie sich unterscheiden. Für die Projektion des Drehimpulsvektors auf die Richtung des Magnetfeldes gilt: :
L_z=\hbar \cdot m
* '''s''' (''Spin(magnet)quantenzahl'', s = +1/2 oder s = -1/2) Ihre Existenz deutet man als Betrachtungswinkel (Spin (Physik) Spin) (1/2: 720-Grad-Symmetrie) der Elektronen. So kann ein Orbital zwei Elektronen aufnehmen, die einen gegenläufigen Spin besitzen (Pauli-Prinzip). Die Spinquantenzahl wird auch mit ms bezeichnet. :Für jede Drehimpulsquantenzahl existiert eine magnetische Quantenzahl, so gibt es die Quantenzahlen ml (Wertebereich -l, ..., +l) und ms (mögliche Werte +1/2 und -1/2). Oft wird der Bahndrehimpuls und der Spin zum Gesamtdrehimpuls eines Elektrons mit der Quantenzahl '''j''' addiert (Wertebereich |l - s|, |l - s| + 1, ..., l + s), die zugehörige magnetische Quantenzahl ist dann mj.

Charakteristische Formen
Bild:D_orbitals.svg thumb|Darstellung der d-Orbitale Bild:Porbital.png thumb|80px|Form eines p-Orbitals. Färbung steht für Vorzeichen Die Orbitale zu den verschiedenen l Zahlen haben charakteristische (grobe) Formen, die auch bei höheren n-Werten qualitativ erhalten bleiben. Jedem l wird aus historischen Gründen ein bestimmter Buchstabe zugeteilt: {| class="prettytable" |'''Name''' || '''ausgeschrieben''' || Wert von '''l''' || '''Aussehen''' |- |s-Orbital || ''sharp'' || l = 0 || radialsymmetrisch |- |p-Orbital || ''principal'' || l = 1 || hantelförmig in den drei Raumachsen |- |d-Orbital || ''diffuse'' || l = 2 || gekreuzte Doppelhantel |- |f-Orbital || ''fundamental'' || l = 3 || rosettenförmig |} (Die Bezeichnungen s, p, d und f stammen aus der Spektroskopie und dienen nur der Bezeichnung. Ein g-Orbital mit l = 4 tritt theoretisch für ein Atom mit der Ordnungsnummer 121 auf. Die Bezeichnung folgt wie auch beim nachfolgenden h-Orbital (l = 5) dem Alphabet.) Die Orbitale charakterisieren streng genommen nur die möglichen Eigenzustand Eigenzustände der Elektronen-Materiewelle Wellen, wie sie in Einelektronensystemen, wie z.B. Wasserstoffatom H oder Heliumionen He+, Lithiumionen Li2+ usw. vorkommen. Die zu den Orbitalen gehörigen Wellenfunktionen (siehe auch Kugelflächenfunktionen) ergeben sich aus der stationären Schrödingergleichung eines Einelektronensystems. Trotz dieser Einschränkung reicht allerdings die Kenntnis der groben Form der Orbitale, die auch in Mehrelektronensystemen erhalten bleibt, um viele qualitative Fragen zum Aufbau von Stoffen zu beantworten. Es ist dabei zu beachten, dass die in der Literatur dargestellten Orbitale oft ''nicht'' die Eigenzustände des Drehimpulsoperators sind. Zum Beispiel wird von den Eigenzuständen von L_z (Drehimpuls in z-Richtung) nur der eine Eigenzustand für den Eigenwert m = 0 dargestellt und als pz bezeichnet. ''Die mit px und py bezeichneten Orbitale sind '''nicht''' die entsprechenden Eigenzustände für m = -1 und m = 1 sondern Superpositionen dieser Eigenzustände. (Sie sind Eigenzustände von Lx bzw. Ly , die aber nicht mit Lz kommutieren!)'' Für die Schlussfolgerungen ist das kein Problem, solange die entsprechenden Wellenfunktionen orthogonal sind.

Quantentheorie
Aus der nichtrelativistischen Quantentheorie ergeben sich die Orbitale nach folgender Rechnung: Die Wechselwirkung zwischen Elektron und Atomkern wird vereinfacht durch das Coulombsches Gesetz Coulombpotential beschrieben, der Atomkern wird als fix angenommen. Der Hamiltonoperator für das Einelektronensystem ist
\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(r)
Da der Hamiltonoperator mit dem Drehimpulsoperator kommutiert, bilden H, L^2 und L_z ein vollständiges System kommutierender Operatoren. Es gibt also gemeinsame Eigenzustände dieser drei Operatoren. Die Zustände sind durch die drei zugehörigen Quantenzahlen n, l und m bestimmt. Die Schrödingergleichung lässt sich in einen radiusabhängigen und einen winkelabhängigen Teil zerlegen. Die Eigenfunktionen sind das Produkt aus Kugelfunktionen (Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators) Y_{lm}(\vartheta,\varphi) und einem radialen Anteil \phi_{nl}(r).

Hybridisierung
Einige Symmetrien von chemischen Bindungen scheinen den charakteristischen Formen der Orbitale zu widersprechen. Diese Bindungssymmetrien werden erst durch die Bildung von Hybrid-Orbitalen verständlich. Dabei handelt es sich um Orbitale, die in Mehrteilchenwellenfunktionen auftreten (siehe oben).

Siehe auch
*Atommodell *Molekülorbital *Hundsche Regeln *Hartree-Fock-Methode

Weblinks
{{Commons|Category:Orbitals|Orbitale}}
- Erklärung des Orbitalmodells mit Abbildungen der Orbitale ([http://www.quantenwelt.de/atomphysik/modelle/orbital_s.html s], [http://www.quantenwelt.de/atomphysik/modelle/orbital_p.html p], [http://www.quantenwelt.de/atomphysik/modelle/orbital_d.html d], [http://www.quantenwelt.de/atomphysik/modelle/orbital_f.html f])
- Java-Applet zur bildlichen Darstellung der Wasserstoff-Orbitale (funktioniert evtl. nur auf Windows- und Mac-Systemen)
- 3d-Darstellung der Orbitale des Wasserstoffatoms
- Orbitalbilder und Erklärungen im Netchemie PSE oder Lexikon
- 3d-Darstellungen von Orbitalen
- Theorie und Darstellung der Orbitale
- 3d-Darstellung der 1s bis 5g Orbitale des Wasserstoffatoms Kategorie:Atomphysik Kategorie:Physikalische Chemie Kategorie:Theoretische Chemie ca:Orbital atòmic cs:Atomový orbital en:Atomic orbital es:Orbital atómico fa:اوربیتال fi:Atomiorbitaali fr:Orbitale atomique gl:Orbital he:?ורביטל ?טומי it:Orbitale ja:原?軌? nl:Orbitaal nn:Orbital no:Orbital pl:Orbital pt:Orbital ru:?томна? орбиталь sl:Orbitala sr:?том?ка орбитала uk:?томна орбіталь zh:原?轨?

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