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M-Schätzer

*** Shopping-Tipp: M-Schätzer

'''M-Schätzer''' (von Maximum-Likelihood-Artig) stellen eine Klasse von Schätzfunktionen dar, die als Verallgemeinerung der Maximum-Likelihood-Methode angesehen werden können. M-Schätzer sind im Vergleich zu anderen Schätzern wie z.B. den Maximum-Likelihood-Schätzern Robustheit robuster gegen Ausreißern. Dieser Artikel behandelt M-Schätzer zur Ermittlung des Erwartungswert Lageparameters

Herleitung durch Verallgemeinerung der Maximum-Likelihood-Methode
Das Prinzip von Maximum-Likelihood-Methode Maximum-Likelihood-Schätzern beruht darauf, die Funktion :: \sum_{i=1}^n -\ln f_{X_i}(x_i;\Theta) mit entsprechender Dichtefunktion Dichte- bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion f_X(x) in Abhängigkeit von \Theta zu minimieren. Die Idee bei M-Schätzern ist, die Funktion -\ln f_{X_i}(x_i;\Theta) durch eine Funktion \rho(x;\Theta) zu ersetzen, welche weniger sensitiv auf Ausreißer reagiert. Aufgabe ist es also, den Ausdruck :: \sum_{i=1}^n \rho(x_i;\Theta) in Abhängigkeit von \Theta zu minimieren, bzw. die Gleichung :: \sum \psi(x_i;\Theta) = 0 mit \psi(x_i;\Theta) = \frac{\partial \rho}{\partial \Theta}(x_i;\Theta) zu lösen. Jede Lösung dieser Gleichung wird M-Schätzer genannt.

Implizite Definition
Sei F eine beliebige Verteilungsfunktion und \psi eine gerade und monoton wachsende Funktion ungleich 0. Dann ist \mu_{\psi}(F) definiert als die Lösung \mu = \mu_{\psi}(F) der Gleichung :: E(\psi(x - \mu)) = \int \psi(x - \mu)dF(x) = 0 Beachtet werden muss das abhängig von der Wahl von \psi und F es entweder keine, eine oder mehrere Lösungen geben kann. Im Falle einer konkreten Stichprobe wird \mu = \mu_{\psi}(F_n), die Lösung von :: \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \psi(x_i - \mu) = \int \psi(x - \mu)dF_n(x) = 0 M-Schätzer genannt.

Geeignete Funktionen \rho
Im folgenden sind die x_i gemäß z_i = \frac{x_i - \Theta}{S_n} standardisiert, um Skaleninvarianz zu erreichen. S_n stellt hierbei einen Streuungschätzer dar, für den meist der Streuung (Statistik) MAD (Median Absolute Deviation) verwendet wird. {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" style="border-collapse:collapse;" !Methode !\rho(z) !\psi(z) !w(z) |- | Kleinste-Quadrate-Methode | \rho(z)_{LS} = \frac{z^2}{2} | \psi(z)_{LS} = z | w(z)_{LS} = 1 |- |Huber-k-Schätzer | \rho(z)_H = \begin{cases} \frac{1}{2}z^2 & |z| \leq{} k \\ k|z| - \frac{1}{2}k^2 & |z| > k \end{cases} | \psi(z)_H = \begin{cases} z & |z| \leq{} k \\ k \operatorname{sgn}(z) & |z| > k \end{cases} | w_H(z) = \begin{cases} 1 & |z| \leq{} k \\ \frac{k \operatorname{sgn}(z)}{z} & |z| > k \end{cases} |}

Robustheit
Bei geeignert Wahl von \psi (gerade, beschränkt und monoton steigend) haben M-Schätzer einen Bruchpunkt (Statistik) Bruchpunkt von \epsilon^* = 0.5

Numerische Lösungsmethode
Für viele Funktionen \rho lässt sich keine explizite Lösung angeben, sie muss daher numerisch berechnet werden. Wie üblich zur Berechnung von Nullstellenproblemen bietet sich auch hier das Newton-Raphson-Verfahren an, und es ergibt sich folgende Iterationsvorschrift, wobei wiederum z_i = \frac{x_i - \mu}{S_n} : :: \mu_{k+1} = \mu_k + \frac{S_n \sum_{i=1}^n \psi(z_i)}{\sum_{i=1}^n \psi^\prime(z_i)} Als geeigneter Startwert \mu_0 wird meist der Median verwendet. Dieses Iterationsverfahren konvergiert sehr schnell, meist sind 2 bis 3 Iterationsschritte ausreichend.

W-Schätzer
W-Schätzer sind M-Schätzern sehr ähnlich und liefern im Normalfall gleiche Ergebnisse. Der einzige Unterschied liegt in der Lösung des Minimierungsproblems. W-Schätzer werden meist bei der robusten Regressionsanalyse Regression eingesetzt. Es wird die Wichtungsfunktion w(z) = \frac{\psi(z)}{z} mit \psi(x_i;\Theta) = \frac{\partial \rho}{\partial \Theta}(x_i;\Theta) eingeführt, mit deren Hilfe das Minimierungsproblem umgeschrieben werden kann in \sum_{i=1}^n z_iw(z_i) = 0 Einsetzten der Definition von z_i, ausmultiplizieren und umstellen ergibt schließlich über die Fixpunktgleichung \Theta = \frac{\sum_{i=1}^n x_iw(\frac{x_i - \Theta}{S_n})}{\sum_{i=1}^n w(\frac{x_i - \Theta}{S_n})} die Iterationsvorschrift \Theta_{t+1} = \frac{\sum_{i=1}^n x_iw(\frac{x_i - \Theta_t}{S_n})}{\sum_{i=1}^n w(\frac{x_i - \Theta_t}{S_n})}

Literatur
* Staudte, Robert G. : ''Robust estimation and testing'' Wiley, New York [u.a.] 1990, ISBN 0-471-85547-2 * Wilcox, Rand R. : ''Introduction to robust estimation and hypothesis testing'' Academic Press, San Diego, Calif. [u.a.] 1997., ISBN 0-12-751545-3 Kategorie:Statistik

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