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Konsistenzordnung

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Die '''Konsistenzordnung p''' (auch 'Fehlerordnung') ist ein Begriff der numerische Mathematik numerischen Mathematik und bezeichnet ein Gütekriterium für numerische Verfahren zur approximativen Lösung Gewöhnliche Differentialgleichung gewöhnlicher Differentialgleichungen. Siehe auch Konsistenz_(Mathematik). Es sei y'(t)=f(t,y) eine gewöhnliche Differentialgleichung, y(t) bezeichne die exakte Lösung der Anfangswertaufgabe y(t_0)=y_0 an der Stelle ''t''. Mit t=n h ergibt sich die Konsistenzordnung als die Landau-Symbol Ordnung \mathcal{O}(h^p) des lokalen Diskretisierungsfehlers \tau(t,y,f,h):=\Delta(t,y,f,h)-\Phi(t,y,f,h), welcher die Differenz aus * dem exaktem Inkrement \Delta_f(h,t,y) und * der Inkrementfunktion \Phi_f(h,t,y) des numerischen Verfahren ist. Dabei wird nur diejenige Potenz von ''h'' betrachtet, welche sowohl vom Punkt ''(x,y)'' als auch von ''f'' unabhängig ist, vorausgesetzt dass ''f'' hinreichend oft stetig differenzierbar ist. Er gibt den Steigungsfehler in einem Schritt an, der mit der Schrittweite verstärkt den lokalen Fehler in einem Schritt produziert. Der lokale Fehler ist dann natürlich eine Ordnung höher. Man gewinnt die Konsistenzordnung durch Taylorentwicklung von \Delta und \Phi um x+h. Die Konsistenzordnung eines Verfahrens ist im allgemeinen ungleich der Konvergenzordnung, da die Konsistenzordnung den lokalen Diskretisierungsfehler beschreibt und die Konvergenzordnung den globalen Diskretisierungsfehler. Man gewinnt systematische Ausdrücke für beide Entwicklungen durch Aufstellen der zugehörigen Butcher-Baum Butcher-Bäume.

Weblinks

- Skript mit Erklärung und einigen Beispielen (ab Seite 198) Kategorie:Numerische Mathematik Kategorie:Gewöhnliche Differentialgleichungen




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