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K-Theorie

*** Shopping-Tipp: K-Theorie

Das Mathematik mathematische Teilgebiet der ''' ''K''-Theorie''' beschäftigt sich mit dem Studium von Vektorbündeln auf topologischer Raum topologischen Räumen (''topologische K-Theorie'') oder Ringtheorie Ringen bzw. Schema (algebraische Geometrie) Schemata (''algebraische K-Theorie'').

Topologische ''K''-Theorie


Definitionen
Es sei ''X'' ein fester kompakter Hausdorff-Raum Hausdorffraum. Dann ist ''K''(''X'') der Quotient der freie abelsche Gruppe freien abelschen Gruppe auf den Isomorphieklassen von komplexen Vektorbündeln über ''X'' nach der Untergruppe, die von Elementen der Form : [E\oplus F]-[E]-[F] für Vektorbündel ''E'', ''F'' erzeugt wird. Diese Konstruktion, die der Konstruktion der ganze Zahl ganzen Zahlen aus den natürliche Zahl natürlichen Zahlen nachempfunden ist, heißt '''Grothendieckgruppe''' (nach Alexander Grothendieck). Betrachtet man stattdessen reelle Vektorbündel, erhält man die reelle ''K''-Theorie ''KO''(''X''). Zwei Vektorbündel ''E'' und ''F'' auf ''X'' definieren genau dann dasselbe Element in ''K''(''X''), wenn sie '''stabil äquivalent''' sind, d.h. wenn es ein triviales Vektorbündel ''G'' gibt, so dass :E\oplus G\cong F\oplus G Mit dem Tensorprodukt von Vektorbündeln wird ''K''(''X'') zu einem kommutativen Ring mit Einselement. Der Begriff des Ranges eines Vektorbündels überträgt sich auf Elemente der ''K''-Theorie. Die '''reduzierte ''K''-Theorie''' \tilde K(X) ist die Untergruppe der Elemente vom Rang 0. Weiter führt man die Bezeichnung \tilde K^n(X)=\tilde K(S^nX) ein; dabei bezeichnet S die reduzierte Einhängung.

Eigenschaften
* ''K'' ist ein kontravarianter Funktor auf der Kategorie der kompakten Hausdorffräume. * Es gibt einen topologischen Raum BU, so dass Elemente von ''K''(''X'') den Homotopieklassen von Abbildungen ''X'' → BU entsprechen. * Es gibt einen natürlichen Ringhomomorphismus ''K''(''X'') → ''H''*(''X'','''Q'''), den '''Chern-Charakter'''.

Bott-Periodizität
Dieses nach Raoul Bott benannte Periodizitätsphänomen lässt sich auf die folgenden Arten formulieren: * K(X\times S^2)=K(X)\otimes K(S^2), und K(S^2)=\mathbb Z[H]/(H-1)^2; dabei ist H die Klasse des tautologisches Bündel tautologischen Bündels über S^2=\mathbb CP^1. * \tilde K^{n+2}(X)=\tilde K^n(X) * \Omega^2\mathrm{BU}\simeq\mathrm{BU}\times\mathbf Z. In der reellen ''K''-Theorie gibt es eine ähnliche Periodizität mit Periode 8.

Algebraische ''K''-Theorie
''A'' sei stets ein unitärer Ring.

Niedrige Dimensionen


= ''K''0
= Der Funktor ''K''0 ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Ringe mit Einselement in die Kategorie der Gruppen; er ordnet einem Ring die Grothendieckgruppe der Isomorphieklassen von endlich erzeugten projektiven Moduln zu.

== Eigenschaften
== *(Morita-Invarianz) Für jeden Ring A und n \in\mathbb N gibt es einen kanonischen Isomorphismus K_0(A) \rightarrow K_0(M_n(A)). *(Serre-Swan Theorem) Sei X ein kompakter Hausdorffraum und C(X) der Ring der stetigen Funktionen. Dann gibt es einen Isomorphismus zwischen topologischer K-Theorie des Raumes und algebraischer K-Theorie des Ringes: K(X) \cong K_0(C(X)).

== Beispiele
== *Ist ''A'' ein Dedekindring, so ist : K_0(A)=\mathop{\mathrm{Pic}}A\times\mathbf Z . *Für Körper (Algebra) Körper, Hauptidealring Hauptidealringe oder lokaler Ring lokale Ringe sind alle projektiven Moduln frei, die K-Theorie ist deshalb isomorph zu \mathbb Z.

= ''K''1
= Hyman Bass schlug die folgende Definition für einen Funktor ''K''1 vor: ''K''1(''A'') ist die Abelisierung der unendlichen allgemeinen linearen Gruppe: :''K''1(''A'') = GL(''A'')ab Dabei ist :GL(''A'') = colim GL''n''(''A''), wobei GL''n'' in die obere linke Ecke von GLn+1 eingebettet werde. Für einen Körper ''k'' ist ''K''1(''k'') die Einheitengruppe.

= ''K''2
= John Willard Milnor J. Milnor fand den richtigen Kandidaten für ''K''2: Es sei die '''Steinberggruppe''' (nach R. Steinberg) St(''A'') eines Ringes ''A'' definiert als die Gruppe mit den Erzeugern x''ij''(''r'') für positive ganze Zahlen ''i'' ≠ ''j'' und Ringelemente ''r'' und den Relationen # \mathrm x_{ij}(r)\mathrm x_{ij}(r') = \mathrm x_{ij}(r+r') # [\mathrm x_{ij}(r),\mathrm x_{jk}(r')] = \mathrm x_{ik}(rr') für i\not=k # [\mathrm x_{ij}(r),\mathrm x_{kl}(r')] = 1 für i\not=l,j\not=k Diese Relationen gelten auch für die Elementarmatrix Elementarmatrizen, deshalb gibt es einen Gruppenhomomorphismus :\varphi\colon\mathrm{St}(A)\to\mathrm{GL}(A) ''K''2(''A'') ist nun per Definition der Kern dieser Abbildung \varphi. Man kann zeigen, dass er mit dem Zentrum von St(''A'') übereinstimmt. ''K''1 und ''K''2 sind durch die exakte Sequenz :1\longrightarrow K_2(A)\longrightarrow\mathrm{St}(A)\longrightarrow\mathrm{GL}(A)\longrightarrow K_1(A)\longrightarrow1 verbunden. Für einen (kommutativen) Körper ''k'' ist :K_2(k) = k^\times\otimes_{\mathbb Z} k^\times/\langle a\otimes(1-a)\mid a\not=0,1\rangle.

Milnors ''K''-Theorie
John Willard Milnor J. Milnor definierte für einen Körper ''k'' "höhere" ''K''-Gruppen durch : K^M_*(k) := T^*k^\times/(a\otimes (1-a)) , also als graduierte Bestandteile des Quotienten der Tensoralgebra über der abelschen Gruppe ''k''× nach dem zweiseitigen Ideal, das von den Elementen der Form :a\otimes(1-a) für ''a'' ≠ 0,1 erzeugt wird. Für ''n'' = 0,1,2 stimmen die milnorschen ''K''-Gruppen mit den oben definierten überein. Die Motivation zu dieser Definition stammt aus der Theorie der quadratischen Formen.

== Beispiele
== Für einen endlichen Körper ''k'' und ''n'' ≠ 0,1 gilt :K^M_n(k)=0 Für einen algebraischen Zahlkörper ''k'' und ''n'' ≠ 0,1,2 gilt :K^M_n(k)=(\mathbb Z /2 )^{r_1}, wobei r_1 die Anzahl der reellen Stellen von ''k'' ist.

== Milnorvermutung
== Es gibt Isomorphismen :K^M_*(k)/2 \longrightarrow H^*_{et}(k,(\mathbb Z /2 )^*), :K^M_*(k)/2 \longrightarrow GrW^*(k) zwischen den milnorschen ''K''-Gruppen eines Körpers ''k'' der Charakteristik ungleich zwei und der Galoiskohomologie bzw. dem graduierten Wittring von ''k''. Unter anderem für den Beweis dieses als Milnorvermutung bekannten Resultates wurde Vladimir Voevodski auf dem Internationaler Mathematikerkongress internationalen Mathematikerkongress 2002 die Fieldsmedaille verliehen. Der Beweis basiert auf der von Voevodsky entwickelten Homotopietheorie algebraischer Varietäten und der von Beilinson und Lichtenbaum entworfenen motivischen Kohomologie.

Quillens ''K''-Theorie
Die umfassendste Definition einer ''K''-Theorie wurde von Daniel Gray Quillen D. Quillen angegeben.

= Klassifizierende Räume von Kategorien
= Für eine kleine Kategorie ''C'' sei der '''Nerv''' N''C'' definiert als die semisimpliziale Menge, deren ''p''-Simplizes die Diagramme :X_0\longrightarrow X_1\longrightarrow\ldots\longrightarrow X_p sind. Die geometrische Realisierung B''C'' von N''C'' heißt '''klassifizierender Raum''' von ''C''.

= Quillens Q-Konstruktion
= Es sei ''P'' eine '''exakte Kategorie''', d.h. eine additive Kategorie zusammen mit einer Klasse ''E'' von "exakten" Diagrammen : M'\longrightarrow M\longrightarrow M'', für die gewisse Axiome gelten, die den Eigenschaften kurzer exakter Sequenzen in einer abelschen Kategorie nachgebildet sind. Zu einer exakten Kategorie ''P'' sei nun die Kategorie Q''P'' definiert als die Kategorie, deren Objekte dieselben sind wie die von ''P'' und deren Morphismen zwischen zwei Objekten ''M''′ und ''M''″ Isomorphieklassen von exakten Diagrammen : M'\longrightarrow N\longrightarrow M'' sind.

= Die ''K''-Gruppen
= Die ''i''-te '''''K''-Gruppe''' von ''P'' ist dann definiert durch : K_i(P)=\pi_{i+1}(\mathrm{BQ}P,0) mit einem fest gewählten Nullobjekt 0. Hierbei sind die \pi_i die (höheren) Fundamentalgruppe Homotopiegruppen. K_0(P) stimmt mit der '''Grothendieckgruppe''' von P überein, also mit dem Quotienten der freie abelsche Gruppe freien abelschen Gruppe über den Isomorphieklassen in P nach der Untergruppe, die von :[M]-[M']-[M''] für Diagramme :M'\longrightarrow M\longrightarrow M'' in ''E'' erzeugt wird. Für einen unitären Ring ''A'' sind die ''K''-Gruppen ''K''''i''(''A'') die eben definierten ''K''-Gruppen der Kategorie der endlich erzeugten projektives Objekt projektiven ''A''-Moduln. Für noethersche unitäre Ringe werden außerdem die Gruppen ''K''′''i''(''A'') definiert als die ''K''-Gruppen der Kategorie aller endlich erzeugten ''A''-Moduln.

Literatur
* Jacek Brodzki: An Introduction to K-theory and Cyclic Cohomology [http://arxiv.org/abs/funct-an/9606001] * Allen Hatcher: Vector bundles and K-theory [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBpage.html] * Daniel Quillen: ''Higher algebraic K-theory: I''. In: H. Bass (Hrsg.): ''Higher K-Theories''. Lecture Notes in Mathematics, vol. 341. Springer-Verlag, Berlin 1973. ISBN 3-540-06434-6 * Charles Weibel: An introduction to algebraic K-theory [http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html] Kategorie:Algebra Kategorie:Topologie en:K-theory fr:K-théorie

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