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J-Funktion

*** Shopping-Tipp: J-Funktion

{{Korrekter Titel|j-Funktion}} Die '''j-Funktion''' oder '''absolute Invariante''' spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptische Funktion elliptischen Funktionen und Modulformen.

Definition
Für \tau\in\mathbb{H}=\{z\in\mathbb{C};\Im(z)>0\} ist :j(\tau):=12^3\cdot\frac{g_2^3(\tau)}{\Delta(\tau)}, dabei sind \Delta(\tau):= g_2^3(\tau)-27g_3^2(\tau) die Diskriminante (Modulform) Diskriminante, g_2(\tau)=60G_4(\tau) und g_3(\tau)=140G_6(\tau) Eisensteinreihen zum Gitter (Mathematik) Gitter \mathbb{Z}\tau+\mathbb{Z}.

Eigenschaften
Die j-Funktion ist holomorph auf \mathbb{H}, die Bezeichnung absolute Invariante erklärt sich aus dem '''Transformationsverhalten''' unter den Substitutionen der Modulgruppe \Gamma :=SL_2(\mathbb{Z})=\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\mid a,b,c,d\in\mathbb{Z}, ad-bc=1\}, es gilt nämlich: :j\left( \frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = j(\tau), d.h. j ist eine Modulfunktion. Die j-Funktion bildet \mathbb{H}surjektiv auf \mathbb C ab. Für Punkte z,w\in\mathbb{H} gilt j(z)=j(w) dann und nur dann wenn es eine komplexe Zahl a\in\mathbb{C}^* gibt, die das Gitter \mathbb{Z}+z\mathbb{Z} auf das Gitter \mathbb{Z}+w\mathbb{Z} überführt, also genau dann wenn die Quotienten \mathbb{C}/(\mathbb{Z}+z\mathbb{Z}) und \mathbb{C}/(\mathbb{Z}+w\mathbb{Z}) als elliptische Kurven isomorph sind.

Fourierentwicklung
Die j-Funktion lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln: : j(\tau)=\frac1q+744+196884q+21493760q^2+864299970q^3+\ldots=\sum_{n=-1}^\infty c_nq^n mit q=\mathrm e^{2\pi\mathrm i\tau}. Die Fourierkoeffizienten c_n sind alle positive ganze Zahlen ({{OEIS|A000521}}). Für ihr Wachstum gilt die asymptotische Formel :c_n\cong\frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}, die 1932 von Hans_Petersson Petersson und unabhängig davon 1938 von Hans_Rademacher Rademacher bewiesen wurde. Die Fourierkoeffizienten entsprechen den Dimensionen der irreduziblen Darstellungen der Monstergruppe ("monstrous moonshine", McKay, John Conway, Norton) Kategorie:Funktionentheorie Kategorie:Zahlentheorie en:j-invariant




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