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Interferenz (Physik)

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'''Interferenz''' beschreibt die Überlagerung von zwei oder mehr Welle (Physik) Wellen beliebiger Art (also Schall, Licht, Materiewellen etz.) nach dem Superpositionsprinzip (also durch Addition der Amplituden). Bild:Interferenz sinus.png right|thumb|350px|'''Interferenz zweier [[Sinus-Wellen gleicher Wellenlänge''' Es ist der Fall vollständig konstruktiver und vollständig destruktiver Interferenz gezeigt. Das dritte Beispiel verdeutlicht das Entstehen einer Schwebung]] Bild:wavepanel.png right|frame|'''Interferenz zweier zirkularer Wellen''' - Wellenlänge von oben nach unten zunehmend, Abstand der Zentren zunehmend nach rechts. __TOC__ Bei der Überlagerung von zwei sinusförmigen Wellen mit gleicher Wellenlänge, gleicher Frequenz und gleicher Phase (Schwingung) Phase verstärkt sich die Amplitude - man spricht dann von '''konstruktiver Interferenz'''; sind die beiden Wellen um 180° phasenverschoben, so dass ein Wellenberg mit einem Wellental zusammenfällt, „löschen“ sie sich gegenseitig aus, wenn ihre Amplituden gleich groß sind - es entsteht eine sogenannte '''destruktive Interferenz'''. Diese zwei Fälle sind in der Abbildung rechts dargestellt. Überlagert man zwei Wellen mit ungleichen, aber nahe beieinander liegenden Frequenzen ''f1'' und ''f2'', so ergibt sich ein Muster, wie es in der ersten Abbildung rechts (unterer Graph) gezeigt ist. Es bildet sich eine schnelle Oszillation aus (Frequenz ''f''schnell''=(f1 + f2)/2''), die mit einer langsamen Frequenz moduliert ist (Frequenz ''f''Schwebung''=(f1 - f2)/2''). Dieses Phänomen nennt man Schwebung. Die Interferenz zweier Wellen gleicher Frequenz, aber mit entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung führt zu einer Stehende Welle stehenden Welle. Das Wellenfeld, das aus der Interferenz zweier (oder mehrerer) beliebiger Wellen entsteht, kann nur dann zeitlich stabil sein, wenn diese Wellen untereinander eine (zeitlich) feste Phasenbeziehung aufweisen. Dies ist z. B. gegeben, wenn die Wellen aus der gleichen Quelle stammen. Man spricht dann von Kohärenz (Physik) kohärenten Wellen. Sind die Wellen nicht monochromatisch, bestehen also aus einer ganzen Reihe von Frequenzanteilen, so definiert man eine Kohärenzzeit, die die Wellen maximal gegeneinander verschoben sein dürfen, um noch ein stabiles Interferenzbild zu erzeugen. Diese Kohärenzzeit (oder die daraus abgeleitete Kohärenzlänge) ist ein wichtiges Maß für physikalische Lichtquellen. Das Auftreten von Interferenz im physikalischen Experiment gilt als Nachweis für die Wellennatur der untersuchten Objekte. So kann man etwa in einem Doppelspaltversuch auch dann ein Interferenzmuster beobachten, wenn man das Licht durch Elektronen ersetzt. Hier spricht man dann von Materiewellen. Es ist noch wichtig zu bemerken, dass bei elektromagnetischen Wellen (und auch bei quantenmechanischen Wellenfunktionen) nicht die Intensitäte (also das Amplitudenbetragsquadrat), sondern direkt die Amplituden superponioert werden. Andernfalls gäbe es z. B. für Licht keine destruktive Interferenz.

Mathematische Darstellung
Eine Welle wird üblicherweise durch eine Funktion von Ort '''''x''''' und Zeit ''t'' geschrieben f(\mathbf{x}, t). Dies bringt zum Ausdruck, dass sich eine Welle sowohl im Raum, als auch in der Zeit ausbreitet. Überlagern sich nun mehrere Wellen f_i(\mathbf{x}, t) an einem Ort '''''x0''''', so lässt sich das Wellenfeld dort als Superposition (Summe) der einzelnen Wellen darstellen: :f_\mathrm{gesamt}(\mathbf{x_0},t)=\sum\limits_{i}f_i(\mathbf{x_0}, t)

Zur Herkunft des Begriffes
Im englischen bedeutet ''interference'' die Beeinträchtigung, Störung oder Wechselwirkung. In der Tat ist der Begriff ''interference'' im englischsprachigen Raum eher mit elektromagnetischen Störungen verbunden, z. B. dem Pfeifgeräusch bei Funkempfang auf Mittel- oder Kurzwelle, welches durch Mehrfachbelegung von Kanälen und Überreichweiten entsteht (dieses entsteht tatsächlich durch Interferenz !) oder der gegenseitigen Störung elektrischer Geräte (''EMI'' - ''electromagnetic interference'', vgl. EMV) Historisch wuchs der Begriff in Optik, Radiotechnik, Akustik oder Nervennetz relativ unabhängig voneinander. Die Optik entwickelte sich über zwei Jahrtausende über geometrische Strahlenbetrachtungen und Pfadintegrale, man ahnte noch nichts von Wellen. Isaac Newton Newton beschreibt die Farbzerlegung des Lichts mittels Prisma, sowie Wellenauslöschung bei dünnen Schichten, ohne sie aber richtig zu verstehen. Kurz zuvor hatte Christiaan Huygens die Wellennatur des Lichts erkannt. Er interpretiert das Brechungsgesetz nicht mehr mit Strahlen (Euklids Lichtstrahl, Fermats kürzester Weg, Isaac Newton Newtons Korpuskeltheorie, später Lagranges Wirkungsintegral), sondern mit Wellen. Die optische Farbzerlegungs-Analogie dirigierte Feldbetrachtungen stets in den ''Fourier-Raum''. Daraus entstand die bis heute dominante Lehrmeinung, Feldberechnungen können am einfachsten im Fourierraum erfolgen. Mit den Gesetzen der Interferenz-Abbildungen konnte erst in den letzten Jahren die mathematische Basis zwischen verschiedenen Fachgebieten unter Rückbezug auf ''Zeitfunktionen'' verallgemeinert werden. Hierbei entsteht ein abstrakter Wellenbegriff, der die Zeitfunktion eines Ortes als Äußerung der Superposition von ursächlichen, wie auch immer verursachten, meist gleichförmigen Verschiebungen von Zeitfunktionen betrachtet. Damit ist die Ausbreitung einer Welle (z. B. Licht) in verzögernden Räumen der Wirkung von Zeit adäquat (Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, Minkowski-Raum). Eine Analogie zum Nervensystem wird deutlich: Von einem beliebigen Neuron breitet sich ein Impuls wellenartig in alle Richtungen zu hunderttausenden Synapsen aus. Man entdeckt die Impuls-Welle mittels Autokorrelation an anderen Stellen wieder und kann damit die Geometrie des Wellenfeldes als Funktion der Zeit und die Verteilung der Leitgeschwindigkeit als Funktion des Ortes als sogenannte auto-korrelative Ortskurve des Neurons rekonstruieren.

Beispiele aus der klassischen Physik und Optik


Interferenz zweier Wellen gleicher Frequenz und Amplitude, unterschiedlicher Phase
Die Überlagerung zweier Wellen gleicher Frequenz und Amplitude lässt anhand der trigonometrischen Additionstheoreme berechnen. Werden die beiden Wellen f_1(t) und f_2(t) mit der gemeinsamen Frequenz \omega, der Amplitude a und den Phasen ''\varphi_1'' und ''\varphi_2'' durch
: f_1(t) = a \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi_1) und f_2(t) = a \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi_2)
beschrieben, so ergibt sich für die resultierende Überlagerung der Wellen
:f_1(t) + f_2(t) = a \left( \sin(\omega t + \varphi_1) + \sin(\omega t + \varphi_2) \right) = 2a \cos\left(\frac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\right) \sin\left(\omega t + \frac{\varphi_1 + \varphi_2}{2}\right),
d. h. es entsteht eine Welle derselben Frequenz, deren Amplitude von der Differenz der Phasen der beiden ursprünglichen Wellen abhängt und deren Phase das Mittel der Phasen der ursprünglichen Wellen ist. Für gleiche Phasen der Wellen (\varphi_1 = \varphi_2) wird der Cosinus Eins. Es ergibt sich eine Amplitude von 2a, d. h. die Amplitude verdoppelt sich gegenüber den Ausgangsamplituden, was konstruktiver Interferenz entspricht. Für eine Phasendifferenz von 180°,(\varphi_1 = \varphi_2 + \pi) wird der Cosinus Null, d. h. die resultierende Welle verschwindet. Dies entspricht destruktiver Interferenz.

Interferenz zweier Wellen gleicher Frequenz, unterschiedlicher Amplitude und Phase
Für gleiche Frequenz der Wellen, aber unterschiedliche Amplituden und Phasen lässt sich die resultierende Welle mittels Zeigerarithmetik berechnen. Die beiden Wellen g_1(t) und g_2(t) besitzen die gemeinsamen Frequenz \omega, die Amplituden a_1 und a_2 und die Phasen ''\varphi_1'' und ''\varphi_2''
:g_1(t) = a_1 \cdot \sin(\omega t + \varphi_1) und g_2(t) = a_2 \cdot \sin(\omega t + \varphi_2) Die resultierende Überlagerung der Wellen hat die Form
: g_1(t) + g_2(t) = A \cdot \sin(\omega t + \varphi)
mit der Amplitude
: A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos(\varphi_1 - \varphi_2) }
und der Phase \varphi : \tan \varphi = \frac{a_1 \sin(\varphi_1) + a_2 \sin(\varphi_2)}{a_1 \cos(\varphi_1) + a_2 \cos(\varphi_2)}.

Überlagerung von Kreiswellen
Bild:Interferenz.jpg thumb|150px|left|Simulierte Amplitudenverteilung zweier Wellenerreger. Die Abbildung links zeigt die Interferenz von zwei kreisförmigen Wellengruppen gleicher Wellenlänge und Amplitude. Die Kreuze markieren die Lage der Quellen, die Kreise die Maxima der jeweiligen Teilwelle. An weißen Stellen tritt konstruktive Interferenz, in positiver Richtung, an schwarzen konstruktive Interferenz, in negativer Richtung, auf. An den grauen Stellen herrscht destruktive Interferenz. Es ist zu erkennen, dass die Minima auf einer Hyperbel-Schar liegen, deren Brennpunkte identisch den Quellorten der Wellen sind. Man spricht deshalb bei zwei Punktquellen von einer hyperbolischen Interferenz. Die Hyperbel (Mathematik) Hyperbel ist dabei die Kurve aller Punkte, die zu den zwei Quellorten die Laufzeitdifferenz ''t'' = ''λ''/2 haben. Der Scheitelpunktabstand 2a entspricht der Laufzeitdifferenz 2a = (T_1 - T_2) v, wenn T_1 und T_2 den Zeitbezug der beiden speisenden Zeitfunktionen darstellen und v die mediale Ausbreitungsgeschwindigkeit darstellt.

Interferenzfarben
Bild:Bubble_interference_(blue).png thumb|right|Schemazeichnung zur Entstehung von Interferenzfarben; siehe Text. An Dünne Schichten dünnen Schichten optisch transparenter Materialien beobachtet man Interferenzfarben. Sie entstehen durch Überlagerung der Strahlen, die an der Oberfläche der Schicht und an der unteren Grenzfläche reflektiert werden. Im Bild rechts wird Strahl ''2'' an der Oberfläche zurückgeworfen, Strahl ''1'' erst nach Passieren der blau dargestellten dünnen Schicht. Er legt einen um die Strecke ''Δ = X0Y'' längeren Weg zurück. Ist ''Δ'' ein ungerades Vielfaches der halben Wellenlänge ''λ'', d. h. :''Δ'' = (2n+1) · ''λ''/2 für ''n'' = 0,1,2,... löschen sich die Strahlen ''1'' und ''2'' aus. Es gelten genau die Gesetzmäßigkeiten wie für Interferenz am Doppelspalt, nur gerade anders herum, da bei der Reflexion von Strahl 1 am allgemein optisch dichteren Medium eine Phasenverschiebung einer halben Wellenlänge im reflektierten Strahl auftritt. Strahl 2 wird an der unteren Grenzfläche am optisch dünneren Medium reflektiert, so dass hier kein Phasensprung auftritt. Im Bildbeispiel ist es blaues Licht, das destruktiv interferiert. Das Licht anderer Wellenlängen bleibt erhalten. Strahlt man weißes Licht ein, wird es ohne Blauanteil reflektiert. Man sieht gelbes Licht, die Komplementärfarbe zu Blau. Beispiele für das Auftreten von Interferenzfarben nennt der Artikel Newtonsche Ringe.

Weißlichtinterferenz
Die Überlagerung kontinuierlich variierender Wellenlänge und Amplitude (Spektrum) erzeugt ein Interferenzmuster nur innerhalb der Kohärenzlänge. In der Weißlichtinterferometer Weißlichtinterferometrie wird dieses Verhalten ausgenutzt um eine eindeutige Längenmessung zu erhalten. Ein weiteres Anwendungsbeispiel findet sich in der Optische Kohärenztomografie, die dadurch dreidimensionale Strukturen erfassen kann.

Laser Speckle
Bild:Laser speckle.jpg thumb|150px|Speckle-Muster eines Lasers auf einer diffusen Oberfläche Laser sind Lichtquellen mit sehr hoher Kohärenz (großer Kohärenzlänge, typischerweise einige Meter, bis zu wenigen hunter Metern). Dies führt dazu, dass Laserlicht auch nach der Reflexion an diffusen Oberflächen noch Interferenzfähig ist. Dies erklärt das stabile Punktemuster, wenn man den Reflex eines Laserstrahles z. B. an einem Blatt Papier beobachtet. Da selbe gilt, wenn der Strahl in staubiger Luft sichtbar wird. Die Reflexion/Streuung erfolgt dann an den Staubteilchen der Umgebung.


Interferenz in der Quantenmechanik


Anschauliche Erklärung
Bild:Doubleslit klassisch qm.png thumb|150px|Schematische Darstellung des Doppelspalt-Experiments mit dem erwarteten Ausgang nach klassischer und nach quantenmechanischer Vorhersage Bild:Doubleslitexperiment results Tanamura 1.gif thumb|150px|Interferenzmuster von Elektronen nach Beugung am Doppelspalt In der Quantenmechanik spielen Interferenzphänomene eine entscheidende Rolle. Hier werden Teilchen (und allgemeiner beliebige Zustände eines Systems) durch Wellenfunktionen beschrieben. Diese sind die Lösungen der Schrödingergleichung, die eine Form, ähnlich einer Wellengleichung annehmen kann. Damit können sich Teilchen, also Materie, in der Quantenmechanik wie Wellen verhalten und auch interferieren (siehe auch Welle-Teilchen-Dualismus, Materiewellen). Ein bekanntes Beispiel ist etwa die Interferenz von Elektronen in einem DoppelspaltexperimentA Tonomura, J Endo, T Matsuda, T Kawasaki and H Ezawa: ''Demonstration of single-electron build-up of an interference pattern'', American Journal of Physics 57(1989), 117-120. (siehe auch die Bilder rechts) oder die Interferenz zweier Bose-Einstein-Kondensate. Der Arbeitsgruppe von Anton Zeilinger ist es gelungen ein Interferenzmuster von Fullerenen (ballförmige Moleküle aus 60 Kohlenstoff-Atomen) zu beobachten. Dies sind die schwersten Teilchen, für die je eine Interferenzerscheinung beobachtet werden konnteMarkus Arndt, Olaf Nairz, Julian Vos-Andreae, Claudia Keller, Gerbrand van der Zouw und Anton Zeilinger: ''Wave–particle duality of C60 molecules'', Nature 401 (1999), 680-682, [http://www.atomwave.org/rmparticle/ao%20refs/aifm%20pdfs%20by%20group%20leaders/arndt%20pdfs/ANV99%20C60%20duality.pdf].

Mathematische Fassung
In der Bra-Ket-Notation lässt sich ein beliebiger quantenmechanischer Zustand in einer orthonormierten Basis \{|i\rangle\} (\langle i|j\rangle=\delta_{ij}) darstellen. Dabei sind die c_i,b_i\in\mathbb{C} komplexe Koeffizienten: :|\psi\rangle=\sum\limits_ic_i\cdot|i\rangle,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\phi\rangle=\sum\limits_ib_i\cdot|i\rangle Für die Wahrscheinlichkeit, dass ein System im Zustand |\psi\rangle im Zustand |\phi\rangle gemessen wird lautet dann: :\mathcal{P}(\psi\rightarrow\phi)=|\langle\psi|\phi\rangle|^2=\left|\sum\limits_{i}c_i^\ast b_i\right|^2 =\sum\limits_{i,j}c_i^\ast c_jb_i^\ast b_j=\sum\limits_i|c_i|^2|b_i|^2+\sum\limits_{i\neq j}c_i^\ast c_jb_i^\ast b_j Wichtig ist hier, dass nicht die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der Teilchen \rho(x)=|\langle x|\psi\rangle|^2 überlagert werden, sondern die (komplexen) Wellenfunktionen selbst. Würden die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten überlagert, so würde man in obiger Formel den hinteren Interferenzanteil verlieren und das Interferenzmuster verschwindet. De Broglie postulierte bereits Anfang des Jahrhunderts, dass allen massiven Teilchen eine Wellenlänge \lambda=h/p zugeschrieben werden kann, wobei ''p'' der Impuls des Teilchens ist und ''h'' das Plancksche Wirkungsquantum. Mit dieser Wellenlänge kann man direkt die Wellenfunktion f(\vec x,t) für ein Teilchen konstruieren und so die Interferenzmuster mit den weiter oben für Licht beschriebenen Methoden berechnen.


Bemerkungen
*Auf Interferenz beruht die begrenzte '''Auflösungsvermögen Auflösung optischer Geräte''' auf Grund der Beugung (Physik) Beugung (Diffraktion). *Eine weite Anwendung findet die Interferenz im '''Optisches Gitter optischen Gitter''', das zur Spektralzerlegung von Strahlung benutzt wird, beispielsweise in Monochromatoren in Optisches Spektrometer Spektrometern. *Ein bekanntes Experiment, das die Wirkung der Interferenz verdeutlicht, ist der '''Doppelspaltversuch''' (Thomas Young 1802). Dabei wird in einen Elektronen- oder Lichtstrahl eine Blende aus zwei schmalen (Größenordnung einer Wellenlänge) Spalten aufgestellt. Dahinter befindet sich ein Detektor bzw. ein Schirm, auf dem die Elektronen oder Photonen nachgewiesen werden. Ist ein Spalt verdeckt, so zeigt sich bei Beleuchtung wie erwartet ein heller Streifen auf dem Schirm. Gibt man beide Spalte frei, so entstehen nicht nur zwei Lichtstreifen, sondern mehrere. Die Streifenabstände verhalten sich umgekehrt proportional zum Abstand der Spalte. Interferenz und Beugung führen dazu, dass sich die Wellen des Lichts wie oben beschrieben überlagern und somit eine Anordnung von hellen und dunklen Streifen bilden. Das Doppelspaltexperiment wird oft zur Einleitung in die Quantenmechanik verwendet, denn auch bei einzelnen Photonen stellt man fest, dass diese beim Auftreffen statistisch ebenfalls ein Streifenmuster bilden, d. h. sie „wissen“, dass ein zweiter Spalt existiert. *In der Messtechnik werden '''Interferometer''' eingesetzt. Diese nutzen Interferenzerscheinungen zur Messung von Längen oder Phasenverschiebungen mit sehr hoher Auflösung. *In der Akustik wird Interferenz zur Reduktion von störenden Geräuschen ausgenutzt, siehe '''Antischall'''. *Zum Stimmen von Musikinstrumenten kann man die entsprechende Einstellung solange verändern, bis man zusammen mit einem Referenzton (z. B. aus einer Stimmgabel) keine '''Schwebung''' mehr wahrnimmt. Die Vermessung von Schwebungssignalen kann auch zur Messung von ansonsten (für das Messgerät) zu hohen Frequenzen genutzt werden. Dazu ist allerdings eine sehr stabile und präzise Frequenzquelle nötig.

Weblinks

- Java-Applet zur Veranschaulichung
- Graphische Lösung von Überlagerungen
- Simulationen mit Zeitfunktionen
- Online-Rechner für Interferenzfarben an dünnen Schichten
- Die "Vorlesung Physik III, 59. Stunde" beinhaltet eine gute, verständliche Erklärung zum Thema Interferenz und Kohärenz (benötigt allerdings ein wenig Hintergrundwissen)

Literatur
* Claude Cohen-Tannoudji: ''Quantenmechanik''. * ''Claude Cohen-Tannoudji Cohen-Tannoudji, Claude / Diu, Bernard / Laloë, Franck (1999):'' '''Quantenmechanik 1 & 2''', 2. Auflage, Berlin - New York: Walter de Gruyter, ISBN 3-11-016458-2 Kategorie:Quantenphysik Kategorie:Optik Kategorie:Akustik Kategorie:Wellenlehre cs:Interference da:Interferens en:Interference es:Interferencia fi:Interferenssi fr:Interférence gl:Interferencia he:הת?בכות hr:Interferencija valova hu:Interferencia io:Interfero it:Interferenza (fisica) ja:干渉 (物?学) lt:Interferencija nl:Interferentie (natuurkunde) no:Interferens pl:Interferencja pt:Interferência ru:Интерференци? (физика) sk:Interferencia sl:Interferenca sr:Интерференција sv:Interferens vi:Giao thoa zh:干涉

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