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H-Raum

*** Shopping-Tipp: H-Raum

{| bgcolor=#abcdef align="right" border="1" | '''H-Raum''' |- | |- bgcolor=#fedcba | berührt die Spezialgebiete |- bgcolor=#abcdef | *Mathematik **Topologie (Mathematik) Topologie **Gruppentheorie |- | |- bgcolor=#fedcba | ist Beispiel von |- bgcolor=#abcdef | *Magma (Mathematik) Magma *topologischer Raum |- | |- bgcolor=#fedcba | Beispiele sind |- bgcolor=#abcdef | *H-Gruppe **Schleifenraum **topologische Gruppe *S7 |} In der Topologie besteht ein '''H-Raum''' aus einem topologischer Raum topologischen Raum ''X'' (oft als Zusammenhang (Topologie) zusammenhängend vorausgesetzt) und einer stetigen Abbildung \mu\colon X\times X\to X mit einer neutrales Element Einheit e\in X in dem Sinne, dass die Endomorphismen :\mu(\cdot, e):X\to X und \mu(e,\cdot):X\to X homotop zur identischen Abbildung id''X'' auf ''X'' relativ zu ''e'' sind. Es gibt auch Definitionen, in denen stärkere oder schwächere Forderungen an diese Homotopie gestellt werden: Manchmal wird die Homotopie nur relativ ''e'', manchmal sogar relativ ''X'' gefordert. Diese drei Varianten sind äquivalent, wenn ''X'' CW-Komplex ist. Der Name ''H-Raum'' wurde von Jean-Pierre Serre zu Ehren von Heinz Hopf vorgeschlagen.

Eigenschaften
Die multiplikative Struktur eines H-Raums bereichert die Struktur seiner Homologie und Cohomologie. So ist der Kohomologiering eines wegzusammenhängenden H-Raums mit endlich erzeugten freien Kohomologiegruppen eine Hopf-Algebra. Außerdem kann man auf den Homologiegruppen eines H-Raums das Pontryagin-Produkt erklären. Die Fundamentalgruppe eines H-Raums ist abelsch: Sei ''X'' ein H-Raum mit Einheit ''e'', und seien ''f'' und ''g'' Schleifen mit Basispunkt ''e''. Dann können wir eine Abbildung ''F'': [0,1]×[0,1] → ''X'' durch ''F''(''a'',''b'') = ''f''(''a'')''g''(''b'') erklären. Nun ist ''F''(-,0) = ''F''(-,1) = ''fe'' homotop zu ''f'' und ''F''(0, -) = ''F''(1, -) = ''eg'' zu ''g''. Dann entspricht ''F'' einer Homotopie von der Verkettung ''f·g'' von Schleifen zu ''g·f''.

Beispiele
J. F. Adams hat gezeigt, dass unter den Sphäre (Mathematik) Sphären nur ''S''0, ''S''1, ''S''3 und ''S''7 H-Räume sind; die Multiplikation wird jeweils von der Multiplikation auf \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H} (Quaternionen) und \mathbb O (Oktonionen) induziert. en:H-space Kategorie: Algebraische Topologie




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