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Fresnel-Integral

*** Shopping-Tipp: Fresnel-Integral

'''Fresnel-Integrale''' spielen eine wichtige Rolle in der Optik und Quantenmechanik. Der Ansatz, die Quantenmechanik aus Pfadintegralen herzuleiten, basiert auf Integralen der Form: :\mathcal{F}^{(j)}\equiv \mathcal{N} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}\xi\ \mathrm{e}^{i \alpha \xi^2} \xi^j Eine praktische Formulierung der Normierungskonstante \mathcal{N} ist :\mathcal{N} \equiv \sqrt{\frac{\alpha}{i\pi}}, j ist eine ganze natürliche Zahl. Für j=0 ist das Integral :\mathcal{F}\equiv \mathcal{F}^{(0)} \equiv \mathcal{N} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}\xi\ \mathrm{e}^{i \alpha \xi^2} und heißt dann '''Fresnel-Integral'''. Integrale dieser Form tauchen in der aus den Feynmanschen Pfadintegralen hergeleiteten Schrödingergleichung auf. Aus dem Fresnelintegral ergibt sich eine komplexe Zahl, deren Real- und Imaginärteile bestimmt sind durch: :\int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}\xi\, \cos (\alpha \xi^2) = \sqrt{\frac{\pi}{2\left|\alpha\right|}} und :\int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}\xi\, \sin (\alpha \xi^2) = \sqrt{\frac{\pi}{2\left|\alpha\right|}}\cdot \operatorname{sign}(\alpha) Beide Integrale konvergieren, weil \xi^2 schnell ansteigt. Das Cosinus-Integral ist aufgrund der Symmetrie des Cosinus invariant gegenüber einem Vorzeichenwechsel von \alpha, der antisymmetrische Sinus wechselt das Vorzeichen. Aus der Addition ergibt sich mit \sqrt{i}=e^{i\frac{\pi}{4}}, -1=e^i\pi und einer Fallunterscheidung für die Signum-Funktion als Lösung des Fresnel-Integrals :\mathcal{F}\equiv \mathcal{F}^{(0)} \equiv \mathcal{N} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}\xi\ \mathrm{e}^{i \alpha \xi^2} = \sqrt{\frac{\alpha}{i\pi}}\cdot \sqrt{\frac{i\pi}{\alpha}}=1. Hieraus erklärt sich auch die Normierungskonstante, die genau das Inverse der Integrallösung sein muss, damit der Gesamtausdruck 1 ist. In der Quantenmechanik wählt man dies aus pragmatischen Gründen und aus der Idee heraus, dass eine Wellenfunktion einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit entspricht; also muss das Integral über diese Funktion 1 sein, da sich das beschriebene Teilchen schließlich irgendwo befindet. Kategorie:Theoretische Physik




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