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F-Verteilung

*** Shopping-Tipp: F-Verteilung

Die '''F-Verteilung''' oder '''Fisher-Verteilung''' (nach Ronald Aylmer Fisher) ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariablen. Sie wird nur zum Testen verwendet, etwa bei der Varianzanalyse, um festzustellen, ob die Grundgesamtheiten zweier Stichproben die gleiche Varianz haben. Die F-Verteilung ergibt sich als Quotient zweier Chi-Quadrat-Verteilter Zufallsvariablen. Sie besitzt als Parameter zwei unabhängige Freiheitsgrade und bildet so eine eigene zwei-Parameter-Verteilungsfamilie.

Definition
Bild:Fmn.png 450px|thumb|Dichtefunktion der F-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden m und Eine stetige Zufallsvariable genügt der '''F-Verteilung''' F(m,n), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte :f(x|m;n)=m^{\frac{m}{2} } n^{\frac{n}{2}} \cdot \frac{\Gamma (\frac{m}{2} + \frac{n}{2})}{\Gamma (\frac{m}{2}) \Gamma (\frac{n}{2})} \cdot \frac{ x^{ \frac{m}{2} -1}}{(mx+n)^\frac{m+n}{2}} besitzt. Dabei ist mit \Gamma(x) die Gammafunktion an der Stelle x bezeichnet.

Eigenschaften


Erwartungswert
Der Erwartungswert ist nur für n>2 definiert und lautet dann :\operatorname{E}(X) = \frac{n}{n-2}.

Varianz
Die Varianz ist nur für n>4 definiert und lautet dann :\operatorname{Var}(X) = \frac{2 n^2 (m+n-2)}{m (n-2)^2 (n-4)}.

Verteilungsfunktion
Da die Werte der Verteilung P(X \leq a) = F(a|n;m) nicht analytisch bestimmt werden können, müssen sie Numerik numerisch ermittelt werden. Man wird sie deshalb meistens einer b:Mathematik:_Statistik:_Tabelle_der_F-Verteilung F-Verteilungstabelle entnehmen. Eine komplette Tabellierung bezüglich aller Freiheitsgrade ist i.a. nicht notwendig, so dass die meisten Verteilungstabellen die Quantile bezüglich ausgewählter Freiheitsgrade und Wahrscheinlichkeiten angeben. Man macht sich hier auch die Beziehung zunutze: :F(p;m;n) = \frac{1}{F(1-p;n;m)} \;, wobei F(p;m;n) das p-Quantil der F-Verteilung mit m und n Freiheitsgraden bedeutet.

Maximum
Für m>2 nimmt f an der Stelle :x_{max}=\frac{n (m-2)}{m (n+2)} das Maximum an.

Beziehungen zu anderen Verteilungen


Beziehung zur Beta-Verteilung
Die Beta-Verteilung geht p=n/2, q=m/2 mit ganzzahligen n und m geht in die F-Verteilung über.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung
Aus den \chi_n^2 und \chi_m^2 Chi-Quadrat-Verteilung Chi-Quadrat-verteilten Zufallsgrößen mit n bzw. m Freiheitsgraden lässt sich :F(m,n)=\frac{\frac{\chi_m^2}{m}}{\frac{\chi_n^2}{n}} konstruieren. Dieser Ausdruck ist F-verteilt mit m und n Freiheitsgraden.

Beziehung zur nichtzentralen F-Verteilung
Für unabhängige Zufallsvariablen X\sim\chi^2(\delta, m) und Y\sim\chi^2(n) ist :Z=\frac{\frac{X}{m}}{\frac{Y}{n}} verteilt nach der nichtzentralen F-Verteilung Z\sim F(\delta,m,n) mit nichtzentralitäts-Parameter \delta. Dabei ist \chi^2(\delta,m) eine Nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung Chi-Quadrat-Verteilung mit nichtzentralitäts-Parameter \delta und m Freiheitsgraden. Für \delta=0 ergibt sich die zentrale F-Verteilung F(m,n).

Beziehung zur Normalverteilung
Wenn die identischen Normalverteilung normalverteilten Zufallsvariablen X_1^{(1)}, X_2^{(1)}, \dots , X_n^{(1)} und X_1^{(2)}, X_2^{(2)}, \dots , X_n^{(2)} die Parameter :\operatorname{E}(X_{i}^{(1)})=\mu_{1}, \sqrt{\operatorname{Var}(X_{i}^{(1)})}=\sigma_{1} :\operatorname{E}(X_{i}^{(2)})=\mu_{2}, \sqrt{\operatorname{Var}(X_{i}^{(2)})}=\sigma_{2} mit \sigma_{1}=\sigma_{2}=\sigma besitzen, dann unterliegt die Zufallsvariable :Y_{n_{1}-1,n_{2}-1}:=\frac{(n_{2}-1)\sum\limits_{i=1}^{n_{1}}(X_{i}^{(1)}-\bar{{X}}^{(1)})^{2}} {(n_{1}-1)\sum\limits_{j=1}^{n_{2}}(X_{i}^{(2)}-\bar{{X}}^{(2)})^{2}} einer F-Verteilung mit ((n_{1}-1,n_{2}-1)) Freiheitsgraden. Dabei sind :\bar{X}^{(1)}=\frac{1}{n_{1}}\sum_{i=1}^{n_{1}}X_{i}^{(1)}\quad \bar{X}^{(2)}=\frac{1}{n_{2}}\sum_{i=1}^{n_{2}}X_{i}^{(2)}.

Literatur
Hartung, Joachim / Elpelt, Bärbel / Klösener, Karl-Heinz: Statistik, 12. Auflage, Oldenbourg 1999, S. 156 ff., ISBN 3486249843.

Weblinks
{{Wikibooks|Mathematik: Statistik: Nichtlineare Funktionen der Normalverteilung|Nichtlineare Funktionen der Normalverteilung}} Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung Statistischer Internetrechner: http://psydok.sulb.uni-saarland.de/volltexte/2004/268/html/surfstat/fvert.htm en:F-distribution es:Distribución F fi:F-jakauma it:Variabile casuale F di Snedecor ja:F分布 nl:F-verdeling pl:Rozkład F Snedecora ru:Ра?пределение Фишера su:Sebaran-F zh:F-分布

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