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E-Kurve

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Die '''E-Kurve''' zählt zur Gruppe der so genannten FASS-Kurve FASS-Kurven (space-'''f'''illing, self-'''a'''voiding, '''s'''imple, self-'''s'''imilar). Diese Kurven sind raum- bzw. flächenfüllend, selbstausweichend (d.h. überschneidungs- und berührungsfrei), einfach und selbstähnlich. Durch Wiederholung ihres Konstruktionsverfahrens, bei dem jedes einzelne Segment des Linienzuges durch ein verkleinertes Abbild des gesamten Linienzuges ersetzt wird, kommt die E-Kurve nach einer ausreichenden Anzahl von Konstruktionsschritten jedem beliebigen Punkt einer quadratischen Fläche beliebig nahe ohne sich selbst zu schneiden. Der Grenzwert (Folge) Grenzwert dieser Folge (Mathematik) unendlichen Folge selbstähnlicher Kurven füllt die Fläche vollständig aus.

Erläuterung des Konstruktionsverfahrens:
Einem Quadrat wird eine E-Kurve der Stufe n = 1 eingeschrieben: Bild:E-kurve1.gif 198px Um leichter darstellen zu können, wie in der Folge die einzelnen Segmente des Linienzuges ersetzt werden, wird das folgende Muster angewendet, bei dem einerseits zwischen hellen und dunklen Teilquadraten unterschieden wird und andererseits jeweils die Orientierung der Quadrate (siehe Markierung) beachtet werden muss: Bild:E-kurve2.gif 198px In der Folge werden die dunklen Quadrate durch dasselbe Muster ersetzt (Orientierung beachten!): Bild:E-kurve3.gif 198px Und die hellen Quadrate durch das negative Abbild des Musters (Orientierung beachten!): Bild:E-kurve4.gif 198px Nach diesem Schritt erhält man eine E-Kurve der Stufe n = 2: Bild:E-kurve5.gif 202px Dieses Verfahren kann nun beliebig oft fortgesetzt werden. Hier noch eine Darstellung der Stufe n = 3: Bild:E-kurve7.gif 251px Und eine Darstellung der Stufen n = 1,2,3 in einem gemeinsamen Bild: Bild:E-kurve6.gif 506px

Siehe auch:
* Gosper-Kurve * Hilbert-Kurve * Peano-Kurve * Sierpiński-Kurve Kategorie: Fraktale Geometrie en:Space-filling curve




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