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Duration

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Die '''Duration''' ist eine Sensitivitätskennzahl, welche die durchschnittliche Kapitalbindungsdauer einer Geldanlage in einem Renten festverzinzlichen Wertpapier bezeichnet. Genauer genommen und allgemein formuliert ist die Duration der gewogene Mittelwert der Zeitpunkte, zu denen der Anleger Zahlungen aus einem Wertpapier erhält.

Durationskonzept
Die Duration wurde im Jahr 1938 durch Frederic Macaulay entwickelt und wird deshalb auch '''Macaulay-Duration''' genannt. Die Duration stellt jenen Zeitpunkt dar, bei dem völlige Immunisierung gegenüber dem Zinsänderungsrisiko im Sinne von Endwertschwankungen eintritt. Das Konzept baut auf dem Umstand auf, dass unvorhergesehene Zinsänderungen zwei gegenläufige Auswirkungen auf den Endwert eines festverzinslichen Wertpapiers (z.B. Anleihe) haben: So führt etwa ein Zinsanstieg zwar zu einem geringeren Barwert der Anleihe; wegen der Reinvestitionsprämisse werden aber die zukünftigen Zahlungen (Kupons) höher verzinst. Letztlich führt ein Zinsanstieg zu einem höheren Endwert. Umgekehrt verhält es sich bei einer Zinssenkung. Jener Zeitpunkt, bis zu dem der Marktwert der Anleihe bei gestiegenen Zinsen wegen der reinvestierten Kupons mindestens wieder den erwarteten Wert erreicht hat bzw. bis zu dem er bei gesunkenen Zinsen wegen der geringeren Diskontierung nicht den erwarteten Wert unterschritten hat, nennt man Duration. Ein weiterer Terminus ist '''Mittlere Restbindungsdauer'''. Denn die Duration ist der gewogene Mittelwert der Zeitpunkte, zu denen der Anleger Zahlungen aus einem Wertpapier erhält. Als Gewichtungsfaktor des Durchschnitts werden die Barwert Barwerte der Zins- und Tilgungszahlungen der jeweiligen Geldanlage herangezogen. Genauer entspricht die Duration einer Taylorreihenentwicklung der Wertänderung, die nach dem ersten linearen Glied abgeschnitten wird. Der Wert von Kuponanleihen ohne besondere Ausstattungsmerkmale ist jedoch konvex im Zinsniveau. Durch die lineare Approximation unterschätzt man daher den Wert von Anleihen, eine Abschätzung mit der Duration ist deshalb immer pessimistisch. Der Wertverlust bei steigendem Zinsniveau wird überschätzt, der Wertzuwachs bei sinkendem Zinsniveau wird unterschätzt.

Modellannahmen
Folgende Annahmen werden beim Durationskonzept getroffen: *'''flache Zinsstrukturkurve''': Durch diese vereinfachende Annahme laufzeitunabhängiger Zinsen können Zahlungen, die zu verschiedenen Zeitpunkten anfallen, mit einem einheitlichen Zinssatz Barwert abgezinst werden *'''einmalige Änderung des Marktzinsniveaus''' durch Parallelverschiebung der (flachen) Zinsstrukturkurve. Diese Änderung erfolgt unmittelbar nach Erwerb der Anleihe *Wiederanlage der Kupon Kuponzahlungen erfolgt zum Marktzins r *keine Transaktionskosten oder Ganzzahligkeitsprobleme

Modified Duration
Die (Macaulay-)Duration wird in der Einheit Jahren gemessen. Dies verkompliziert jedoch die praktische Anwendbarkeit stark. Viel wünschenswerter wäre es daher, eine Aussage über die relative Veränderung des Anleihekurses in Abhängigkeit einer Veränderung des Marktzinsniveaus treffen zu können. Diese Aufgaben übernimmt die modifizierte Duration ''(engl.: modified duration)''. Sie gibt an, um wieviel Prozent sich der Anleihekurs ändert, wenn sich das Marktzinsniveau um ein Prozent ändert, d.h. sie misst den durch eine marginale Zinssatzänderung ausgelösten Kurseffekt und stellt somit eine Art Elastizität des Anleihekurses vom Marktzinssatz dar. Da auch hierbei die sehr restriktiven Annahmen des Durationskonzeptes gelten, ist eine praktische Anwendbarkeit wieder nur bei sehr geringen Zinsänderungen gegeben. Die modifizierte Duration ist eine Kennzahl aus der Finanzmathematik, welche angibt, wie stark sich der Gesamtertrag einer Anleihe (bestehend aus den Tilgungen, Kuponzahlungen, sowie Zinseszinseffekt bei der Wiederveranlagung der Rückzahlungen) ändert, wenn sich der Zinssatz am Markt ändert. Die '''Modifizierte Duration''', DMD, steht wie folgt mit der Duration im Zusammenhang: :D_{\mathrm{MD}} = D_{\mathrm{Mac}} \cdot \frac{1}{1+r}

Portfolioduration
Um die Duration eines Portfolios zu bestimmen, berechnet man im ersten Schritt die Durationen der Anleihen des Portfolios. Die Portfolioduration ergibt sich dann als die mit dem Anteil am Portfoliogesamtwert jeder Anleihe gewichtete Summe der einzelnen Anleihedurationen: :D_{PF} = \sum_{i=1}^{N} x_i \cdot D_i mit

DPF = Duration des Portfolios
xi = Anteil der Anleihe i am Portfoliogesamtwert
Di = Duration der Anleihe i
N = Anzahl der verschiedenen Anleihen im Portfolio
Alternativ lässt sich die Duration auch für einen Gesamtzahlungsstrom berechnen, indem die einzelnen Zahlungsströme addiert werden.

Herleitung der Durationsformel
Der Barwert einer Anleihe lässt sich allgemein durch Diskontieren (Abzinsen) der zukünftigen Zahlungen (d.h. der oftmals jährlich anfallenden Kuponzahlungen sowie der Kupon- und Tilgungszahlung im Zeitpunkt n) berechnen: :P_0 = \frac{C_1}{1+r_1} + \frac{C_2}{(1+r_2)^2} + ... + \frac{C_n}{(1+r_n)^n} oder :P_0 = \sum_{t=1}^{T} \frac{C_t}{(1+r_t)^t} mit

P0 = Barwert im Betrachtungszeitpunkt t0
Ct = Zahlung zum Zeitpunkt t (in Jahren)
rt = Für die Laufzeit t gültiger Zinssatz
T = Laufzeitende der Anleihe (letzte Zahlung)
Leitet man nun die zweite Formel nach dem (bei der Duration annahmegemäß laufzeitunabhängigen) Zinssatz r ab (deshalb auch kein Index t), so erhält man: :\frac{\partial P_0}{\partial r} = \sum_{t=1}^T C_t \cdot (-t) \cdot (1+r)^{-(t+1)} = -\sum_{t=1}^T \frac{t \cdot C_t}{(1+r)^{(t+1)}}=-\frac{1}{1+r} \cdot \sum_{t=1}^T \frac{t \cdot C_t}{(1+r)^t} Dies ist die Euro-Duration. Division der Ableitung durch den Barwert P0 in t0 liefert: :\frac{\frac{\partial P_0}{\partial r}}{P_0} = -\frac{1}{1+r}\cdot \underbrace{\sum_{t=1}^T \frac{t \cdot C_t}{(1+r)^t} \cdot \frac{1}{P_0}}_{\mathrm{Macaulay-Duration}} Der berechnete Ausdruck stellt die approximative relative Preisänderung bei (kleiner) Zinsänderung dar. Eine derartige Definition der Macaulay-Duration hat historische Gründe. '''Macaulay Duration DMac:''' :D_{Mac} = \sum_{t=1}^T \frac{t \cdot C_t}{(1+r)^t} \cdot \frac{1}{P_0}

Zusammenfassung der Formeln der Durationsberechnung
D_{Euro}= \sum^{n-1}_{i=1} t_i c_i(1+\bar{y})^{-(t_i+1)} + t_n (100+c_n) (1+\bar{y})^{-(t_n-1)} D_{mod}= \frac {\sum^{n-1}_{i=1} t_i c_i(1+\bar{y})^{-(t_i+1)} + t_n (100+c_n) (1+\bar{y})^{-(t_n-1)}} {\sum_{i=1}^{n-1} c_i(1+\bar{y})^{-(t_i+1)} + (100+c_n) (1+\bar{y})^{-(t_n-1)}} D_{Mac}= \frac {\sum^{n-1}_{i=1} t_i c_i(1+\bar{y})^{-(t_i+1)} + t_n (100+c_n) (1+\bar{y})^{-(t_n-1)}} {\sum_{i=1}^{n-1} c_i(1+\bar{y})^{-(t_i+1)} + (100+c_n) (1+\bar{y})^{-(t_n-1)}}

Immunisierung gegen Zinsänderungsrisiken
Eine Position ist dann gegen Zinsänderungsrisiko Zinsänderungsrisiken immunisiert, wenn sich die mit den Marktwerten gewichtete modifizierte Duration der Long- und der Short-Position einander entsprechen. D(long) · Co(long) = D(short) · Co(short) mit Co als Preis der Option und D als Duration.

Bewertung des Durationskonzeptes
Für die Beurteilung der Zinssensitivität einer Anleihe ist es nicht ausreichend, nur die Gesamtlaufzeit zu betrachten: Beispielsweise weist ein Zerobond mit nur einer einzigen Zahlung zum Laufzeitende eine weitaus größere Zinsempfindlichkeit auf, als eine "normale" Anleihe gleicher Laufzeit, bei der jährlich Kuponzahlungen geleistet werden. Neben der Laufzeit einer Anleihe ist somit auch das zeitliche Anfallen der Zahlungen von Bedeutung. Die Duration verknüpft diese beiden relevanten Komponenten auf multiplikative Weise, gewichtet also den jeweiligen Zahlungszeitpunkt t mit dem relativen Beitrag zum Barwert. Eine höhere Duration lässt auf eine tendenziell hohe Zinssensitivität schließen und zeigt, wie lange das Kapital im Mittel gebunden ist. Die Duration ist umso höher, je niedriger der Kupon ist. Für den Extremfall der Nullkuponanleihe gilt, dass die Duration mit der Restlaufzeit der Anleihe übereinstimmt. Da sich die Zinsen in der Regel jedoch nicht stetig, sondern stufenweise (diskret) ändern, und die Abhängigkeit des Anleihenkurses vom Zinssatz keine lineare Beziehung darstellt, sind die Änderungen, die die Duration berechnet, nicht ganz exakt. Der Kursrückgang wird überschätzt, wenn der Zins steigt und die Kurssteigerung wird unterschätzt, wenn der Zins fällt. Dieser Fehler, ausgelöst durch die Approximation einer nicht-linearen Beziehung durch eine lineare, fällt bei nur geringen Zinsänderungen kaum ins Gewicht. Bei größeren Zinsänderungen steigt dieser Konvexitätsfehler jedoch stark an, eine Linderung dieses Fehlers bietet das Einbeziehen der Konvexität (Finanzmathematik) Konvexität bei der Preisabschätzung. Die Existenz von Konditionsbeitrag Konditionsbeiträgen belegt die Existenz von Marktunvollkommenheiten. Die Annahme einer flachen Zinsstrukturkurve kann mit Hilfe der Key Rate Duration aufgeweicht werden. Kategorie:Kapitalmarkttheorie

Artikel
Steiner, BCMFUFSTEINERTCM/FUFSTEINER,STONE: Key Rate Duration: Ein neues Instrument zur Messung des Zinsänderungsrisikos, in: Die Bank, Heft 2, 1995, S. 112-118. da:Varighed en:Bond duration fr:Duration it:Duration di portafoglio ja:デュレーション nl:Duration ru:Дюраци? sv:Duration

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[Der Artikel zu Duration stammt aus dem Nachschlagewerk Wikipedia, der freien Enzyklopädie. Dort findet sich neben einer Übersicht der Autoren die Möglichkeit, den Original-Text des Artikels Duration zu editieren.
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