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Duodezimalsystem

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Das '''Duodezimalsystem''' (auch '''Zwölfersystem''') ist ein Stellenwertsystem zur Darstellung von Zahlen. Es verwendet die Basis Zwölf, ist also das „12-adische Stellenwertsystem“. Das bedeutet: Anders als beim üblichen Dezimalsystem (mit der Basis 10) gibt es 12 Ziffern, so dass erst für natürliche Zahlen ab 12 eine zweite Ziffer benötigt wird.

Verwendung und Geschichte
Die Zahl 12 hatte in vielen Kulturen eine wichtige Bedeutung. Sie gilt als die Zahl der Vollkommenheit. Ein Grund sind vermutlich die 12 Mond-Monate im Jahr. Beispiele der Verwendung der 12 sind die 12 Monate im Jahr, zweimal 12 Stunden pro Tag, 12 Tierkreiszeichen, 12 Zeichen in der chinesischen Astrologie, 12 Sterne auf der Flagge der Europäischen Union (nicht von den Gründungsstaaten abgeleitet). In vielen europäischen Sprachen gibt es eigene Zahlennamen für 11 („elf“) und 12 („zwölf“) anstelle der regelmäßigen Zehnersystem-Namen (wie „zweiundzehn“ oder „zweizehn“). Dies weist, wie auch die Verwendung des Dutzend, auf eine breite Verwendung der Basis 12 hin. Zusätzlich hat die 12 die Eigenschaft, durch relativ viele Zahlen ganzzahlig teilbar zu sein (1, 2, 3, 4, 6, 12), was die Verwendung als Größeneinteilung (z. B. bei Angloamerikanisches Maßsystem Zoll und Fuß) zur Folge hatte. Ein kleiner Nachteil gegenüber dem Hexadezimalsystem, den das Duo- mit dem Dezimal und dem Oktalsystem teilt, ist, dass die Wurzel der Basis keine ganze Zahl ist. Das Duodezimalsystem wird heute noch in einigen Zusammenhängen verwendet: * 1 Dutzend = 12 Stück, 1 Schock = 5 Dutzend, 1 Gros = 12 Dutzend, 1 Maß = 12 Gros * bei verschiedenen Maßeinheiten, z. B. 1 Foot Fuß = 12 Englisches Zoll Zoll, * Einteilung des Tages in 2 mal 12 Stunden. Ansätze, das Dezimalsystem mit zwei zusätzlichen Ziffern zu ergänzen, um allgemein im Duodezimalsystem zu rechnen, konnten sich dagegen nicht durchsetzen.

Darstellung von Zahlen


Ziffern
Die Dozenal Society of America (gegr. 1944) schlug zusätzlich zu den Ziffern '''0''' bis '''9''' noch '''X''' für 10 und '''E''' für 11 vor, später dann # für 10. Die Zahl 278 würde dann z. B. als '''1E2''' (1 · 144 + 11 · 12 + 2 · 1) geschrieben. Die Nachteile davon liegen auf der Hand - weitere gängige Bedeutungen der Zeichenfolge 1E2 sind nämlich * die Abkürzung der Exponentialschreibweise 1 * 10^2 und * die Hexadezimalzahl 0x1E2 = 1 * 256 + 14 * 16 + 2. Die Dozenal Society of Great Britain (gegr. 1959) bevorzugt stattdessen die auf den Kopf gestellten Ziffern 2 und 3. In diesem Artikel verwenden wir die Ziffern # und E für Zehn und Elf.

Ganze und rationale Zahlen
Die Darstellung der Zahlen erfolgt ähnlich wie die Darstellung im gewöhnlich verwendeten Dezimalsystem, mit dem Unterschied, dass die Wertigkeit der Ziffern nicht durch die entsprechende Zehnerpotenz, sondern durch die passende Zwölferpotenz bestimmt wird. Beispielsweise stellt die Ziffernfolge '''234''' nicht (wie im Dezimalsystem) die Zweihundertvierunddreißig dar, sondern die Dreihundertachtundzwanzig, denn im Duodezimalsystem berechnet sich der Wert durch: :234_{(12)} = 2\cdot 12^2 + 3\cdot 12^1 + 4\cdot 12^0 = 288+36+4=328_{(10)} Die Indices weisen dabei auf die verwendete Basis hin. Duodezimale Brüche sind wie im Dezimalsystem entweder endlich, wie :1/2 = 0,6(12) :1/3 = 0,4(12) :1/6 = 0,2(12) :1/8 = 0,16(12) :1/9 = 0,14(12) oder periodisch, wie :1/5 = 0,2497 2497 2497 ...(12) :1/7 = 0,186#35 186#35 ...(12) :1/10 = 1/#(12) = 0,1 2497 2497 ...(12) Negative Zahlen schreibt man wie im Dezimalsystem mit einem vorangestellte Minuszeichen.

Grundrechenarten
Ganz analog zu den Zahlen im Dezimalsystem lassen sich mit Duodezimalzahlen die gängigen arithmetischen Grundoperation Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (Mathematik) Division durchführen. Die benötigten Algorithmen sind prinzipiell dieselben, nur werden durch die größere Anzahl von Ziffern das kleine Einmaleins und die Additionstabelle größer.

Umrechnen in andere Stellenwertsysteme
Die ersten natürlichen Zahlen werden im Duodezimalsystem so dargestellt: {| class="prettytable" |- !Duodezimalsystem | 0|| 1|| 2|| 3|| 4|| 5|| 6|| 7|| 8|| 9|| #|| E||10 |11||12||13||14||15||16||17||18||19||1#||1E||20 |- !Dezimalsystem | 0|| 1|| 2|| 3|| 4|| 5|| 6|| 7|| 8|| 9||10||11||12 |13||14||15||16||17||18||19||20||21||22||23||24 |}

Vom Duodezimalsystem ins Dezimalsystem
Um aus einer Duodezimalzahl eine Dezimalzahl zu erhalten, zählt man die angegebenen Vielfachen der 12er-Potenzen zusammen, berechnet also den Wert der Zahl wie es die Definition des 12-adischen Stellenwertsystems vorgibt: :234(12) = 2 · 122 + 3 · 121 + 4 · 120 = 288 + 36 + 4 = 328.

Vom Dezimalsystem ins Duodezimalsystem
Eine Möglichkeit, eine Dezimalzahl ins Duodezimalsystem umzuwandeln, ist die Betrachtung der Division mit Rest Divisionsreste die entstehen, wenn die Zahl durch die Basis 12 geteilt wird. Im Beispiel der 328(10) sähe das so aus: '''328''' : 12 = ''27'' Rest '''4''', ''27'' : 12 = ''2'' Rest '''3''', ''2'' : 12 = ''0'' Rest '''2'''. Der zu errechende Wert ist nun ''von unten nach oben'' an den Resten ablesbar: 234(12).

Weblinks

- Dozenal Society of America
- Dozenal Society of Great Britain
- Das große 1x1 im Zwölfersystem
- Duodezimal in viele andere Zahlensysteme umrechnen (und umgekehrt) Kategorie:Zahlensystem da:Duodecimal en:Duodecimal es:Sistema duodecimal fr:Système duodécimal ja:??二進記数法 ko:십?진법 nl:Twaalftallig stelsel pl:Dwunastkowy system liczbowy pt:Sistema de numeração duodecimal ru:Двенадцатерична? ?и?тема ?чи?лени? sl:Dvanajstiški številski sistem th:เลข?านสิบสอง

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