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C*-Algebra

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In der Funktionalanalysis sind '''C*-Algebren''' eine Abstraktion der beschränkten linearer Operator linearen Operatoren auf einem Hilbertraum. Zunächst trennte man den abstrakten Begriff und die konkreten Realisierungen von Norm-abgeschlossenen *-Unteralgebren und nannte sie B*-Algebren bzw. C*-Algebren. Das C sollte auf die Abgeschlossenheit (closed) hinweisen. Es stellte sich jedoch heraus, dass die Trennung der beiden Begriffe nicht notwendig war, und man nutzte nur noch den Begriff C*-Algebra. Heute wird die Theorie der C*-Algebren auch als nichtkommutative Topologie angesehen.

Definition und Eigenschaften
Eine C*-Algebra A ist eine involutive Banachalgebra, die zusätzlich das C*-Axiom erfüllt: : \|a^*a\|=\|a\|^2. Mit "involutiv" ist die Existenz einer Involution (Mathematik) Involution gemeint, d.h. einer Abbildung : {*}\colon A\to A,\quad a\mapsto a^* mit den folgenden Eigenschaften: * (a+b)^*=a^*+b^* und (\lambda a)^*=\bar\lambda a^* (semilinear oder konjugiert linear) * (ab)^*=b^*a^* (multiplikativ) * (a^*)^*=a (involutiv) * \|a^*\|=\|a\| (isometrisch) für a,b\in A und \lambda\in\mathbb C. Sind A und B C*-Algebren, dann heißt eine Abbildung \varphi \colon A\to B *-Homomorphismus, falls sie linear, multiplikativ und mit der Involution verträglich ist. Es wird nicht gefordert, dass \phi stetig sein muss. Jeder *-Homomorphismus \varphi ist kontrahierend, also insbesondere stetig. Kontrahierend bedeutet, dass \|\varphi(a)\| \leq \|a\| für beliebiges a \in A gilt.

Beispiele
* Das motivierende Beispiel für den Begriff der C*-Algebren ist die Algebra L(H) der linearen Operatoren auf einem Hilbertraum H mit der Bildung des adjungierter Operator adjungierten Operators als Involution. * Auch jede *-Unteralgebra von L(H), die in der Normtopologie abgeschlossen ist, ist eine C*-Algebra. Man kann sogar zeigen, dass jede C*-Algebra isometrisch *-isomorph zu einer *-Unteralgebra von L(H) für einen geeigneten Hilbertraum H ist (Satz von Gelfand und Naimark). * X sei ein lokalkompakter Hausdorffraum. Dann bilden die komplexwertigen, stetigen und im unendlich verschwindenden Funktionen C_0(X) eine kommutative C*-Algebra, wobei die Involution durch die Konjugation gegeben wird. Ein ebenfalls nach Gelfand und Naimark benannter Satz besagt, dass jede kommutative C*-Algebra diese Form hat. * M_n=L( \mathbb C ^n), n\in \mathbb N Matrizen * K(H) kompakte Operatoren auf einem Hilbertraum * Calkin Algebra * Direkte Summe von C*-Algebren * Direktes Produkt von C*-Algebren * induktiver Limes von C*-Algebren * Tensorprodukt von C*-Algebren * UHF Algebren * AF Algebren * universelle C*-Algebren * Rotationsalgebra * Cuntzalgebra * Cuntz-Krieger-Algebra * Toeplitz-Algebra * Gruppen C*-Algebra * ''Von-Neumann-Algebra Von-Neumann-Algebren'' sind stark abgeschlossene *-Unteralgebren von L(H) (H Hilbertraum). Da die starke Lokal konvexer Raum Operatortopologie schwächer ist als die Normtopologie, sind die von-Neumann-Algebren auch in der Normtopologie abgeschlossen. Also sind sie insbesondere C*-Algebren. Kategorie:Funktionalanalysis en:C*-algebra es:C-estrella-álgebra fr:C-étoile-algèbre ja:C*-環 sv:C*-algebra

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