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Arkussinus und Arkuskosinus

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'''Arkussinus''' (geschrieben ''arcsin'', ''asin'' oder ''sin-1'') ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Sinusfunktion. '''Arkuskosinus''' (geschrieben ''arccos'', ''acos'' oder ''cos-1'') ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Kosinusfunktion. Beide Funktionen gehören damit zur Klasse der Arkusfunktionen.

Definition
Die Sinusfunktion ist 2\pi-Periodische Funktion periodisch. Daher muss ihr Definitionsbereich eingeschränkt werden, damit sie umkehrbar-eindeutig wird. Da es für diese Einschränkung mehrere Möglichkeiten gibt, spricht man von Zweigen des Arkussinus. Meist wird der '''Hauptzweig''' (oder Hauptwert), die Umkehrfunktion der Einschränkung (Mathematik) Einschränkung \sin|_{\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]} betrachtet. In diesem Fall entsteht die bijektive Funktion mit :\arcsin\colon[-1,1]\to \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right]. Analog zum Arkussinus wird der Hauptwert des Arkuskosinus definiert als die Umkehrfunktion von \cos|_{[0,\pi]}. Diese Definition führt zu der bijektiven Funktion :\arccos\colon[-1,1]\to[0,\pi].

Umrechnung
:\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x

Eigenschaften
{| |Bild:Arcsin.svg thumb|300px|Graph der Funktion Arkussinus |Bild:Arccos.svg thumb|300px|Graph der Funktion Arkuskosinus |} {| {{table}} |-class="hintergrundfarbe6" !   !Arkussinus !Arkuskosinus |-- | Definitionsbereich | -1 \le x \le 1 | -1 \le x \le 1 |- | Wertebereich | -\frac{\pi}{2} \le f(x) \le + \frac{\pi}{2} | 0 \le f(x) \le \pi |- | Periodizität | keine | keine |- | Monotonie | streng monoton steigend | streng monoton fallend |- | Symmetrien | Ungerade Funktion: \arcsin(-x) = -\arcsin(x)\! | Punktsymetrie zu \left(x=0\;,\;y =\frac{\pi}{2}\right)
\arccos(x) = \pi - \arccos(-x)\! |- | Asymptoten | f(x) \to\pm \frac{\pi}{2} für x \to\pm 1 | f(x) \to \frac{\pi}{2} \mp \frac{\pi}{2} für x \to\pm 1 |- | Nullstellen | x = 0\! | x = 1\! |- | Sprungstellen | keine | keine |- | Polstellen | keine | keine |- | Extrema | keine | keine |- | Wendepunkte | x = 0\! | x = 0\! |}

Formeln für negative Argumente
Aufgrund der Symmetrieeigenschaften gilt: :\arcsin(-x) = -\arcsin(x)\, :\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)\,

Reihenentwicklung
Die Taylorreihe des Arkussinus erhält man durch Anwenden des Binomischer Lehrsatz binomischen Lehrsatzes auf die Ableitung, sie ist gegeben durch: :\arcsin(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty{-\frac{1}{2}\choose k}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1} = x-\frac16 x^3 + \frac{3}{40} x^5-\frac{5}{112}x^7+\frac{35}{1152}x^9\cdots. Die Taylorreihe des Arkuskosinus ist aufgrund der Beziehung \arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x : :\arccos(x) = \frac{\pi}{2}-\sum\limits_{k=0}^\infty{-\frac{1}{2}\choose k}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}

Umkehrfunktionen
:{|cellspacing=10px style="margin:0.5em;" |-- |'''Arkussinus:'''    |Sinusfunktion: x = \sin(y)\! |-- |'''Arkuskosinus:'''    |Kosinusfunktion: x = \cos(y)\! |}

Ableitungen
'''Arkussinus:''' :\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin(ax+b) = \frac{a}{\sqrt{1-(ax+b)^2}} Mit a = 1 und b = 0: :\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin (x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} '''Arkuskosinus:''' :\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(ax+b) = - \frac{a}{\sqrt{1 - (ax+b)^2}} Mit a = 1 und b = 0: :\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(x) = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} '''Umrechnung:''' :\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(x) = - \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin (x)

Integrale
'''Arkussinus:''' : \int \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) \mathrm dx = x\,\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + \sqrt{a^2 - x^2 } + C '''Arkuskosinus:''' : \int \arccos \left( \frac{x}{a} \right)\, \mathrm dx = x \, \arccos \left( \frac{x}{a} \right) - \sqrt{ a^2 - x^2} + C

Anmerkungen


Besondere Werte
{| border=1 cellpadding=5px ! x | -1 | -\frac{\sqrt{3}}{2} | -\frac{\sqrt{2}}{2} | -\frac{1}{2} | 0 | \frac{1}{2} | \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{\sqrt{3}}{2} | 1 |-- ! \arcsin(x) | -\frac{\pi}{2} | -\frac{\pi}{3} | -\frac{\pi}{4} | -\frac{\pi}{6} | 0 | \frac{\pi}{6} | \frac{\pi}{4} | \frac{\pi}{3} | \frac{\pi}{2} |} {| border=1 cellpadding=5px ! x | -1 | -\frac{\sqrt{3}}{2} | -\frac{\sqrt{2}}{2} | -\frac{1}{2} | 0 | \frac{1}{2} | \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{\sqrt{3}}{2} | 1 |-- ! \arccos(x) | \pi | \frac{5 \pi}{6} | \frac{3 \pi}{4} | \frac{2 \pi}{3} | \frac{\pi}{2} | \frac{\pi}{3} | \frac{\pi}{4} | \frac{\pi}{6} | 0 |}

Weiterführendes
Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus ausdrücken: :\arcsin z = -\mathrm{i}\,\ln\left(\mathrm i z+\sqrt{1-z^2}\right) :\arccos z = -\mathrm{i}\,\ln\left(z+\mathrm i\sqrt{1-z^2}\right)

Literatur
* Ilja Bronstein, Konstantin Semendjajew: ''Taschenbuch der Mathematik''. ISBN 3-87144-492-8

Siehe auch
* Formelsammlung Trigonometrie * Trigonometrische Funktionen {{Navigationsleiste Trigonometrische Funktionen}} Kategorie:Trigonometrische Funktion Kategorie:Trigonometrie it:Arcoseno it:Arcocoseno pl:Funkcje odwrotne do trygonometrycznych sv:Arcus sinus en:Inverse trigonometric function

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[Der Artikel zu Arkussinus und Arkuskosinus stammt aus dem Nachschlagewerk Wikipedia, der freien Enzyklopädie. Dort findet sich neben einer Übersicht der Autoren die Möglichkeit, den Original-Text des Artikels Arkussinus und Arkuskosinus zu editieren.
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