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A-Stabilität

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Ein Numerische Mathematik numerisches Verfahren zur Lösung von Anfangswertproblemen heißt '''A-stabil''', wenn sein Stabilitätsgebiet die komplette linke Halbebene der Komplexe Zahlen komplexen Zahlenebene enthält. Anders formuliert bedeutet dies, dass das numerische Verfahren bei der Lösung der dahlquistschen Testgleichung :y'=\lambda y \quad y(0)=y_0 für alle komplexen \lambda mit negativem Realteil bei beliebiger Schrittweite \Delta t eine Monotonie (Mathematik) monoton fallende Folge von Approximation Näherungen liefert. Dies impliziert, dass das Verfahren unabhängig von der rechten Seite der Differentialgleichung Stabilität (Numerik) stabil ist und keine Oszillationen entwickelt. Beispiele von A-stabilen Verfahren sind das Implizites Euler-Verfahren implizite Euler-Verfahren, das Implizite Trapez-Methode implizite Trapez-Verfahren, sowie Backward Differentiation Formulae BDF(2). Der Begriff wurde 1963 von Germund Dahlquist eingeführt. Er bewies auch die zweite Dahlquist-Barriere, nach der A-stabile lineare Mehrschrittverfahren nicht von höherer Ordnung als 2 sein können. Das A wählte er, da ihm Attribute wie „stark“ oder „super“ als zu abgedroschen vorkamen. Implizite Runge-Kutta-Verfahren können auch bei höherer Ordnung A-stabil sein, sind aber sehr aufwändig. Explizite Runge-Kutta-Verfahren, ebenso wie explizite lineare Mehrschritt-Verfahren haben immer ein beschränktes Stabilitätsgebiet, sind also nie A-stabil.

Varianten
Ein Verfahren heißt A(\alpha)-stabil, falls das Stabilitätsgebiet den Winkel \alpha, ausgehend vom Nullpunkt mit der negativen reellen Achse als Winkelhalbierende, enthält. Damit gibt es rechte Seiten, die dem Verfahren Probleme machen, je nach Größe des Winkels sind dies jedoch sehr wenige, für alle anderen ist der Zeitschritt nicht beschränkt. BDF-Verfahren sind von Ordnung 3 bis zur Ordnung 6 A(\alpha)-stabil, wobei der Winkel kleiner wird mit höherer Ordnung.

Literatur
*G. Dahlquist: ''A Special Stability Problem for Linear Multistep Methods'' in BIT 3 (1), 27--43, 1963 *E. Hairer, G. Wanner: ''Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff problems'', Springer Verlag Kategorie:Numerische Mathematik




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